工程数学试题B
一、单项选择题（每小题3分，本题共21分） 1.设A,B为n阶矩阵，则下列等式成立的是（ ）． (A) AB?BA (B) (AB)T?ATBT (C) (A?B)T?AT?BT (D) (AB)T?AB
?1?1 2.设A???1??1234?234??，则r(A)?（ ）． 234??234? (A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 4
3.设A,B为n阶矩阵，?既是A又是B的特征值，x既是A又是B的特征向量，则结论（ ）成立．
(A) ?是A?B的特征值 (B) ?是A?B的特征值 (C) x是A?B的特征向量 (D) ?是AB的特征值
,B为随机事件，下列等式成立的是（ ）． 4.设A (A) P(A?B)?P(A)?P(B) (B) P(A?B)?P(A)?P(B) (C) P(A?B)?P(A)?P(B) (D) P(A?B)?P(A)?P(AB)
,B相互独立的充分必要条件是（ ）． 5.随机事件A (A) P(AB)?P(A)P(B) (B) P(AB)?P(A)
(C) P(AB)?0 (D) P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) 6.设f(x)和F(x)分别是随机变量X的分布密度函数和分布函数，则对任意a?b，有P(a?X?b)?（ ）．
(A) ?F(x)dx (B) ?f(x)dx
aabb (C) f(b)?f(a) (D) F(a)?F(b)
~N(,2),2,X 7. 对来自正态总体X（?未知）的一个样本XX，1313X??Xi，则下列各式中（ ）不是统计量．
3i?1?? (A) X (B) ?Xi
i?1313132 (C) ?(Xi??) (D) ?(Xi?X)2
3i?13i?1
二、填空题（每小题3分，共15分）
1.设A,B均为3阶矩阵，A?2，B?3，则?3ATB?1? ． 2.线性无关的向量组的部分组一定 ．
3.已知P(A)?0.3,P(B?A)?0.5，则P(A?B)? ． 4.设连续型随机变量X的密度函数是f(x)，则E(X)? ． 5.若参数?的估计量??满足E(??)??，则称??为?的 估计． 三、计算题（每小题10分，共60分）
?12? 1．设矩阵A???，求A的特征值与特征向量． 03?? 2.线性方程组的增广矩阵为
?1?121??1? 1?23?????13?61??求此线性方程组的全部解．
22?5x3?6x2x3化为标准型，并求 3.用配方法将二次型f(x1,x2,x3)?7x12?3x2出所作的满秩变换．
4.两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。已知第一台加工的零件是第二台加工的零件的3倍,求任意取出的零件是合格品的概率．
5. 袋中有10个球，其中三白七黑，有放回地依次抽取，每次取一个，共取4次求：⑴取到白球不少于3次的概率；⑵没有全部取到白球的概率． 6. 某厂生产一种型号的滚珠，其直径X~N(?,0.09)，今从这批滚珠中随机地抽取了16个，测得直径（单位：mm）的样本平均值为4.35，求滚珠直径?的置信度为0.95的置信区间(双侧临界值??1.96)．
四、证明题（本题4分）
设A为正交矩阵，试证：A等于1或?1．
参考答案
一、单项选择题（每小题3分，本题共21分） 1.C 2.B 3.C 4.D 5.A 6.B 7.C 二、填空题（每小题3分，共15分）
1.?18 2.线性无关 3.0.8 4.?xf(x)dx 5.无偏．
????三、计算题（每小题10分，共60分） 1. 解：解特征方程 ?E?A???10?2??3?(??1)(??3)?0, 得
特征值：?1?1,?2?3。
当??1时，解方程组(?E?A)X?0，系数矩阵
?0?2??01? E?A?????00?， 0?2?????1? 解得对应的特征向量为：X1???。
?0?当??3时，解方程组(?E?A)X?0，系数矩阵
?2?2??1?1? 3E?A?????00?， 00?????1? 解得对应的特征向量为：X2???。
?1??1? 因此，特征值?1?1,?2?3。与1对应的全部特征值为kX1?k??,k?0；
0???1? 与3对应的全部特征值为kX2?k??,k?0。
?1?2.解：增广矩阵
?1?121??1?121??1?121??1???02?42???01?21?， 1?23???????????13?61???02?42???0000???x1?x2?2x3?1方程组等价于：?。取自由未知量x3?1得对应齐次方程的基础
x?2x?13?2?0??2??；令x?0，得特解：X??1?。 2解系：?1??30???????0???1??X??210??k?021? （其中k为任意常数）
TT3.解：配方如下：
22f(x1,x2,x3)?7x12?3x2?5x3?6x2x322?7x1?3(x2?2x2x3)?5x3222?7x1?3(x2?x3)?3x3?5x2?7x1?3(x2?x3)2?2x3.2223
?y1?x1?x1?y1?? 令?y2?x2?x3，即所求满秩线性变换为?x2?y2?y3，此时可将原二次型
?y?x?x?y33?3?322?2y3化为标准型：7y12?3y2。
?x1??100??y1????01?1??y? 22f(x1,x2,x3)?7y12?3y2?2y3x， ??2????2???x3????001????y3??4.解：设Ai={取出的是第i台机床生产的零件}，i=1，2； B={取出的合格品}。 则：
P(B)?P(B|A1)P(A1)?P(B|A2)P(A2)?
993981???10041004
395?400.?0.987533?3?5.解：（1）所求概率为：C4???10?44?3??7????C4???10??10?4014?7????0.0837， ?10?0?3??7?（2）所求概率为：1-C4?????0.9919.
?10??10?6.解：选则统计量：
X???~N(0,1).
n???X????1.96??0.95, 由题设：p????n??????置信区间为?X?1.96,X?1.96?，代入数值，得
?nn?[4.203,4.497]．
四、证明题（本题4分） 证明：由已知条件有 AAT?E
由矩阵行列式的性质得
AAT?AAT?AA?A2?E?1
2即A ?1，故A等于1或?1．证毕．
工程数学试题B及参考答案
