第21届全国中学生物理竞赛预赛试题和答案
qU?2y mBlLd (12)
代入有关数据求得
q?1.6?1011C/kg m (13)
评分标准
本题15分．（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）式各1分，（10）式3分，（12）、（13）式各2分．
四、如图所示，圆为地球赤道，S为卫星所在处，用R表示卫星运动轨道的半径．由万有引力定律、牛顿运动定律和卫星周期T（亦即地球自转周期）可得
O R0 ??Mm?2π?G2?mR?? R?T?2 (1)
式中M为地球质量，G为引力常量，m为卫星质量．
另有
由图可知
由以上各式，可解得
2GM?R0g
R (2)
Rcos??R0
(3)
S ?4π2R0????arccos??T2g???13 (4)
取T = 23小时56分4秒（或近似取T = 24小时），代入数值，可得
??81.3?
（5）
由此可知，卫星的定位范围在东经135.0??81.3??53.7?到75.0??81.3??156.3?之间的上空． 评分标准
本题15分．（1）、（2）、（3）式各2分，(4) 、(5)式共2分，得出最后结论再给7分．
五、用E和I分别表示abdc回路的感应电动势和感应电流的大小，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律可知
E?Bl?v2?v1?
(1) (2)
I?E 2R令F表示磁场对每根杆的安培力的大小，则
(3) F?IBl
令a1和a2分别表示ab杆、cd杆和物体M加速度的大小，T表示绳中张力的大小，由牛顿定律可知
F?ma1
(4)
Mg?T?ma2 (5)
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由以上各式解得
T?F?ma2
(6)
B2l2?v2?v1? a1?2Rm2MgR?B2l2?v2?v1?a2?
2?M?m?R(7)
(8)
评分标准
本题15分．（1）式3分，（2）式2分，（3）式3分，（4）、（5）、（6）式各1分，（7）、(8)式各2分． 六、把酒杯放平，分析成像问题．
A r
i θ P?α β O C P n1 n0=1 图1
1．未斟酒时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n1和n0＝1．在图1中，P为画片中心，由P发出经过球心C的光线PO经过顶点不变方向进入空气中；由P发出的与PO成??角的另一光线PA在A处折射．设A处入射角为i，折射角为r，半径CA与PO的夹角为???????????????????????
?
?
在△PAC中，由正弦定理，有
n1sini?n0sinr?
?????2??
??i???
RPC ?sin?sini考虑近轴光线成像，?、i、r都是小角度，则有
?3?
r?n1i n0(4)
??RPCi (5)
由 (2)、(4)、(5) 式、n0、n1、R的数值及PC?PO?CO?4.8cm，可得
??1.31i ?6? ??? r?1.56i 由?6??????式有?????????????????????????? r????
由上式及图1可知，折射线将与PO延长线相交于P?，P?即为P点的实像．画面将成实像于P?处．
在△CA P＇中，由正弦定理有
又有
考虑到是近轴光线，由?9)、????式可得
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RCP?? sin?sinr (9)
??????
r????
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又有
由以上各式并代入数据，可得
CP??rR r??(11)
OP??CP??R (12)
OP??7.9cm (13)
由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距O点7.9cm处．已知O到杯口平面的距离为8.0cm，当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物．
2．斟酒后，杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为n1和n2，如图2所示，考虑到近轴光线有
r?n1i (14) n2P?β A r θ O代入n1和n2的值，可得 C P n1 r?1.16i ?15? n2 与????????，可知
图2 r?? ?16?
由上式及图2可知，折射线将与OP延长线相交于P?，P?即为P点的虚像．画面将成虚像于P?处．计算可得
??i 又有
由以上各式并代入数据得
CP??rR ??r(17)
OP??CP??R
(18)
OP?＝13cm
（19）
由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于P＇处，距O点13cm．即距杯口21cm．虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离，但仍然离杯口处足够远，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上景物的虚像． 评分标准:
本题15分．求得（13）式给5分，说明“看不出”再给2分；求出（19）式，给5分，说明“看到”再给3分．
A
O 七、由题设条件知，若从地面参考系观测，则任何时刻，A沿竖直方向运动，设其速度为vA，B沿水平方向运动，设其速度为vB．若以B为参考系，从B??R vB 观测，则A杆保持在竖直方向，它与碗的接触点在碗面内作半径为R的圆周运动，速度的方向与圆周相切，设其速度为VA．杆相对地面的速度是杆相对
碗的速度与碗相对地面的速度的合速度，速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示．由图得
B VA vA VAsin??vA VAcos??vB
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(1) (2)
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因而
由能量守恒
由(3)、(4) 两式及mB?2mA得
vB?vAcot?
(3)
mAgRcos??1122 mAvA?mBvB22(4)
vA?sin?2gRcos?
1?cos2?2gRcos? 21?cos?(5)
vB?cos? (6)
评分标准：
15）分．（1）、（2）式各3分，（4）式5分，（5）、（6）两式各2分．
10? 八、设B、C右方无穷组合电路的等效电阻为RBC，则题
图中通有电流的电路可以简化为图1中的电路．B、C右B 20V 方的电路又可简化为图2的电路，其中RB?C?是虚线右方
电路的等效电阻．由于B?、C?右方的电路与B、C右方30? RBC 的电路结构相同，而且都是无穷组合电路， 故有
10V 24V (1) RBC?RB?C?
C 18? 由电阻串、并联公式可得
B 1.0? B? RB?C?
2.0? C C?
图2 RBC2RB?C? ?1?2?RB?C?图1 (2)
10? 20V A (3)
30? Q＋C2 － － ＋ CQD Q＋ － C3 E 24V 10V 18?
B 由式(1)、(2)两式得
2RBC?RBC?2?0
解得
2? C RBC?2.0?
图1所示回路中的电流为
图3 20?10?24(4) I?A?0.10A
10?30?18?2电流沿顺时针方向。
设电路中三个电容器的电容分别为C1、C2和C3，各电容器极板上的电荷分别为Q1、Q2和Q3，极性如图3所示．由于电荷守恒，在虚线框内，三个极板上电荷的代数和应为零，即
Q1?Q3?Q2?0 (5)
A、E两点间的电势差
UA?UE??Q1Q3? C1C3(6)
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又有
UA?UE??10?30?0.10?V?7.0V （7） B、E两点间的电势差
UB?UE?又有
Q2Q3 ?C2C3（8）
UB?UE??24?20?0.10?V?26V
（9）
根据(5)、(6)、(7)、(8)、(9) 式并代入C1、C2和C3之值后可得
Q3?1.3?10?4C
（10）
即电容器C3与E点相接的极板带负电，电荷量为1.3?10?4C．
评分标准：
17分．求得（3）式给3分，（4）式1分，（5）、（6）、（7）、（8）、（9）、（10）式各2分，指出所考
察的极板上的电荷是负电荷再给1分．
T T0 T F 九、设从烧断线到砝码1与弹簧分离经历的时间为?t，在这段时间内，各砝码和砝码托盘的受1 3 2 力情况如图1所示：图中，F表示?t时间内任
mg 意时刻弹簧的弹力，T表示该时刻跨过滑轮组的mg mg F 轻绳中的张力，mg为重力，T0为悬挂托盘的绳mg 图1 的拉力．因D的质量忽略不计，有
T0?2T
(1)
在时间?t内任一时刻，砝码1向上运动，托盘向下运动，砝码2、3则向上升起，但砝码2、3与托盘速
度的大小是相同的．设在砝码1与弹簧分离的时刻，砝码1的速度大小为v1，砝码2、3与托盘速度的大小都是v2，由动量定理，有
IF?Img?mv1 IT?Img?mv2 IT?Img?mv2
(2) (3) (4) (5)
IF?Img?IT0?mv2
式中IF、Img、IT、IT0分别代表力F、mg、T、T0在?t时间内冲量的大小。注意到式(1)，有
由(2)、(3)、(4)、(5)、(6)各式得
IT0?2IT
(6)
1(7) v1
3在弹簧伸长过程中，弹簧的上端与砝码1一起向上运动，下端与托盘一起向下运动．以?l1表示在?t时
v2?15 / 16
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间内弹簧上端向上运动的距离，?l2表示其下端向下运动的距离．由于在弹簧伸长过程中任意时刻，托盘的速度都为砝码1的速度的1/3，故有
另有
?l2?1?l1 3(8)
?l1??l2?l0
(9)
在弹簧伸长过程中，机械能守恒，弹簧弹性势能的减少等于系统动能和重力势能的增加，即有
121122kl0?mv1?3?mv2?mg?l1?mg?l2?2mg?l2 222由(7)、(8)、(9)、(10) 式得
2v1?(10)
3?12??kl0?mgl0? 2m?2?
(11)
砝码1与弹簧分开后，砝码作上抛运动，上升到最大高度经历时间为t1，有
v1?gt1
(12)
砝码2、3和托盘的受力情况如图2所示，以a表示加速度的大小，有
T mg?T?ma (13) mg?T?ma (14) 2 T 3 mg 图2
T0
T0?mg?ma (15)
T0?2T （16）
由 (14)、(15) 和(16)式得
a?mg mg
1g 3托盘的加速度向上，初速度v2向下，设经历时间t2，托盘速度变为零，有
由 (7)、(12)、(17) 和(18)式，得
v2?at2
(18)
v1 (19) g即砝码1自与弹簧分离到速度为零经历的时间与托盘自分离到速度为零经历的时间相等．由对称性可知，当砝码回到分离位置时，托盘亦回到分离位置，即再经历t1，砝码与弹簧相遇．题中要求的时间
t1?t2?
由 (11)、(12)、(20) 式得
t总?2t1
(20)
t总?2g3?12??kl0?mgl0? 2m?2?(21)
评分标准：
本题18分.求得（7）式给5分，求得（11）式给5分，（17）、（19）、（20）、（21）式各2分．
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