（1）X(z)?ZT[au(n)]?nn?????anu(n)z?n?1,z?a
1?az?1daz?1,z?a （2）ZT[nx(n)]??zX(z)?dz(1?az?1)2（3）ZT[au(?n)]??az?nn?0???n?n??anzn?n?0?1,z?a?1 1?az?3z?118. 已知X(z)?，分别求： ?1?22?5z?2z（1）收敛域0.5?z?2对应的原序列x(n)； （2）收敛域z?2对应的原序列x(n)。 解：
（1）当收敛域0.5?z?2时，n?0，c内有极点，
x(n)?Res[F(z),0.5]?0.5n?2?n,n?0,
c内有极点,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2,
x(n)??Res[F(z),2]?2n,
最后得到
（2（当收敛域z?2时，
n?0,c内有极点,2,
n?0,c内有极点,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是c外没
有极点,因此x(n)?0, 最后得到
25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为
x(n)?anu(n),h(n)?bnu(n),0?a?1,0?b?1，
试：
（1）用卷积法求网络输出y(n)； （2）用ZT法求网络输出y(n)。 解：
（1）用卷积法求y(n)
y(n)?h(n)?x(n)?
m????b?mu(m)an?mu(n?m)，n?0,
y(n)??am?0nn?mm1?a?n?1bn?1an?1?bn?1b?a?ab?a?，n?0，y(n)?0 ?11?aba?bm?0nn?mmn最后得到
（2）用ZT法求y(n) 令F(z)?Y(z)zn?1zn?1zn?1 ???1?1?1?az??1?bz?(z?a)(z?b)n?0,c内有极点a,b
因为系统是因果系统，n?0,y(n)?0，最后得到
28. 若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式： 求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejw)。 解：
求上式IZT，得到序列h(n)的共轭对称序列he(n)。
因为h(n)是因果序列，he(n)必定是双边序列，收敛域取：a?z?a?1。
n?1时，c内有极点a, n=0时，c内有极点a,0， 所以 又因为 所以
教材第三章习题解答
1. 计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间0?n?N?1内,序列定义为 （2）x(n)??(n)；
（4）x(n)?Rm(n),0?m?N； （6）x(n)?cos(2?nm),0?m?N； N（8）x(n)?sin(w0n)?RN(n)； （10）x(n)?nRN(n)。 解：
（2）X(k)???(n)Wn?0N?1knN???(n)?1,k?0,1,?,N?1
n?0N?1
N?1n?0kn（4）X(k)??WN1?W?1?WkmNkN?e?j?Nk(m?1)sin(?Nmk),k?0,1,?,N?1 m)2?2?sin(2??NN?1?jmn?jkn1jNmn?2??knN（6）X(k)??cos?mn??WN??(e?e)eN
?N?n?0n?02N?1（8）解法1 直接计算
解法2 由DFT的共轭对称性求解 因为 所以 即
????1?1?ejw0N1?ejw0N1?1?ejw0N1?ejw0N?????()??()2?2?2?2?j(w0?k)j(w0?(N?k)j(w0?k)j(w0?k)?2j??2j?NNNN1?e1?e?1?e??1?e?结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。
（10）解法1
上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为 x(n)?nRN(n)
所以 x(n)?x((n?1))N?RN(n)?N?(n)?RN(n) 等式两边进行DFT得到 故 X(k)?N[?(k)?1],k?1,2?,N?1 k1?WN当k?0时，可直接计算得出X（0） 这样，X（k）可写成如下形式：
解法2 k?0时， k?0时， 所以， 即
2. 已知下列X(k)，求x(n)?IDFT[X(k)];
?Nj??2e,k?m??N（1）X(k)??e?j?,k?N?m;
?2?0,其它k??
?Nj???2je,k?m??N（2）X(k)??je?j?,k?N?m
?2?0,其它k??解： （1） （2）
3. 长度为N=10的两个有限长序列
作图表示x1(n)、x2(n)和y(n)?x1(n)?x2(n)。 解：
x1(n)、x2(n)和y(n)?x1(n)?x2(n)分别如题3解图（a）、（b）、（c）所示。
14. 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为: 对每个序列作20点DFT,即 如果
试问在哪些点上f(n)?x(n)*y(n)，为什么？ 解：
如前所示，记f(n)?x(n)*y(n)，而f(n)?IDFT[F(k)]?x(n)?y(n)。fl(n) 长度为27，f(n)长度为20。已推出二者的关系为
只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足f(n)?fl(n)所以
15. 用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率F?50Hz，信号最高频率为1kHZ，试确定以下各参数： （1）最小记录时间Tpmin； （2）最大取样间隔Tmax； （3）最少采样点数Nmin；
（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。 解：
（1）已知F?50HZ （2）Tmax?1fmin?11??0.5ms 32fmax2?10（3）Nmin?
TpT?0.02s?40 ?30.5?10
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）
18. 我们希望利用h(n)长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与h(n)的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列ym(n)，m表示第m段计算输出。最后，从ym(n)中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出y(n)。 （1）求V； （2）求B；
（3）确定取出的B个采样应为ym(n)中的哪些采样点。 解：
为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列ym(n)的序列标号为0，1，2，…,127。
先以h(n)与各段输入的线性卷积ylm(n)考虑，ylm(n)中，第0点到48点（共49个点）不正确，不能作为滤波输出，第49点到第99点（共51个点）为正确的滤波输出序列y(n)的一段，即B=51。所以，为了去除前面49个不正确点，取出51个正确的点连续得到不间断又无多余点的y(n)，必须重叠100-51=49个点，即V=49。
下面说明，对128点的循环卷积ym(n)，上述结果也是正确的。我们知道 因为ylm(n)长度为
N+M-1=50+100-1=149
所以从n=20到127区域， ym(n)?ylm(n)，当然，第49点到第99点二者亦相等，所以，所取出的第51点为从第49到99点的ym(n)。 综上所述，总结所得结论
V=49,B=51
选取ym(n)中第49~99点作为滤波输出。
教材第五章习题解答
1. 设系统用下面的差分方程描述：
311y(n)?y(n?1)?y(n?2)?x(n)?x(n?1)，
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数字信号处理第三版高西全丁玉美课后答案完整版
