江苏省扬州中学2024届高三数学下学期开学考试（2月）试题
一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程。 1.复数
5的共轭复数是________． 3?4i2．设全集U?R,________．
A?xx2?2x?0,B??yy?cosx,x?R?,则图中阴影部分表示的区间是
??3．运行如图所示的伪代码，其结果为________．
S←1
For I From 1 To 7 Step 2 S←S＋I End For Print S
4.若命题“?t?R，t?2t?a?0”是假命题，则实数a的取值范围是 ． 5.甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88、89、90；
乙组：87、88、92，如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是 ．
6.矩形ABCD中，沿AB?4 ,BC?3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B?AC?D，则四面体ABCD外接球的体积为 ．
2?y?0?7．设x,y满足?y?x，则x?3y的最大值为 ．
?|x|?|y|?1?8．已知?an?为等差数列，Sn为其前n项和，公差为d，若
S2024S18??100，则d的值为________． 2024189．已知函数f(x)?(x?m)lnx,m?R，当x?1时恒有(x?1)f'(x)?0，则关于x的不等式
f(x)?2x?2的解集为________．
10.在平面直角坐标系xOy中，过点P??2,0?的直线与圆x?y?1相切于点T，与圆
22?x?a?2?y?3??2?3相交于点R,S，且PT?RS，则正数a的值为 ．
11.若函数f(x)?1???(cosx?sinx)?(cosx?sinx)?3a(sinx?cosx)?(4a?1)x在??,0?上单2?2?调递增，则实数a的取值范围为______________________．
?x2?x,x?0?12.函数f(x)??11，若关于x的方程f(x)?kx?k至少有两个不相等的实数根，则
??x,x?0?22?实数k的取值范围为_____________．
x2y2??1上，13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆点P满足AP? (??1)OA(??R)，259且OA?OP?48，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为 ． 14.在?ABC中，AC?2 ,AB?mBC(m?1),若当?ABC面积取最大值时B??3,则
m? ．
二.解答题：本大题共6小题，共计90分
15．（本小题满分14分）已知?ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知
asinB?3bcoA?sc3.
73,b?43,a?c，求a,c. 4(1)求角B的大小；(2)若?ABC的面积为
16. （本小题满分14分）如图，在三棱锥P?ABC中，已知平面PBC?平面ABC. (1)若AB?BC,CP?PB，求证： CP?PA； (2)若过点A作直线l?平面ABC，求证：l//平面PBC.
17．（本小题满分14分）如图是一“T”型水渠的平面视图(俯视图)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m，东西向渠宽2m(从拐角处，即图中A，B处开始)．假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)．
2
(1)在水平面内，过点A的一条直线与水渠的内壁交于P，Q两点，且与水渠的一边的夹角为π??θ?0＜θ＜?，将线段PQ的长度l表示为θ的函数； 2??
(2)若从南面漂来一根长为7m的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请说明理由．
x2y2
18．（本小题满分16分）如图，点A(1，3)为椭圆＋＝1上一定点，过点A引两直线与椭圆分
2n别交于B，C两点． (1)求椭圆方程；
(2)若直线AB，AC与x轴围成的是以点A为顶点的等腰三角形． ①求直线BC的斜率；
②求△ABC的面积的最大值，并求出此时直线BC的方程．
19．（本小题满分16分）函数f(x)＝1＋lnx－
kx－2
，其中k为常数． x(1)若k＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若k＝5，求证：f(x)有且仅有两个零点；
(3)若k为整数，且当x＞2时，f(x)＞0恒成立，求k的最大值.
3
20.（本小题满分16分） 已知有穷数列?an?，?bn?对任意的正整数n?N?，都有
a1bbab2?????nan?a2n?1?3n??1n?1ba2b?n?2成立． 2?n?(1)若?an?是等差数列，且首项和公差相等，求证：?bn?是等比数列； (2)若?an?是等差数列，且?bn?是等比数列，求证：anbn?n?2n?1．
附加题
1.已知矩阵A＝?
3 3?1
，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝??，?c d??1?属于特征值1的一个特
3
征向量α2＝?－2?.求矩阵A，并求出A的逆矩阵．
??
4
2.在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知圆ρ＝π????π??4sin?θ＋?被射线θ＝θ0?ρ≥0，θ0为常数，且θ0∈?0，??所截得的弦长为23，求θ0的值． 6?2?????
3. 假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p(0< p <1)．现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是21．
25 （1）求p的值；
（2）设该运动员投篮命中次数为?，求?的概率分布及数学期望E(?)．
5
江苏省扬州市2024届高三数学下学期开学考试(2月)试题
