(4)当(x,y)?(0,0)时，
df(x,y)=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy
?1x1=?2xsin?cos222222?x+yx+yx+y??1y1=?2ysin?cos?x2+y2x2+y2x2+y2???dx+ ????dy ??当(x,y)=(0,0)时， 由于limx→0y→0(f(x,y)?f(0,0))?(fx(0,0)x+fy(0,0)y)x+y22=limx2+y2sinx→0y→01x+y22=0
所以df(0,0)=fx(0,0)dx+fy(0,0)dy=0
(二)练习
1.设函数f(x,y)在点(0,0)处的偏导数fx(0,0)=2，fy(0,0)=?1，则 ( A )df(0,0)=2dx?dy
(B)函数f(x,y)在(0,0)点的某邻域内必有定义
（C）曲线??z=f(x,y)在(0,0)点处切线的方向向量为j?k
x=0?
(选(C))
(D)limf(x,y)必存在
x→0y→02.考虑二元函数f(x,y)的下面4个性质:①f(x,y)在(x0,y0)连续②f(x,y)在
(x0,y0)两个偏导数连续;③f(x,y)在(x0,y0)可微④f(x,y)在(x0,y0)两个偏导数存在。
若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q,则有
(A)③→②→① (B)③→④→① (C)③→①→④(D)②→③→①
(选(D))
3.设f(x,y)=|x?y|?(x,y)，其中?(x,y)在点(0,0)的邻域内连续，问 (1) (2)
?(x,y)在什么条件下，fx(x,y)，fy(x,y)存在？ ?(x,y)在什么条件下，f(x,y)在(0,0)可微?
(?(x,y)=0) (?(x,y)=0)
9.2.2 多元复合函数求偏导数 (一)例题
xy2y例1z=f(xy,)+?2?(x2y+xy2?t)dt，其中f和?分别具有二阶连续偏导数和一
xyx?2z阶导数，求。
?x?y解:令xy+xy?t=u，则
22?xy2x2y?(xy+xy?t)dt=??(u)(?du)=??(u)du
xy2x2y22x2yxy2?zy=f1y+f2(?2)+?(xy2)y2??(x2y)2xy ?xx?2z11y1=f1+y(f11x+f12)?2f2f?2(f21x+f22)+2y?(xy2) ?x?yxxxx
+2xy3??(xy2)?2x?(x2y)?2x3y??(x2y)
?2u?2u?y?例19 已知方程2+2=0有形如u=???的解，试求出这个解。
?x?y?x?
解 设r=y，则u=?(r)，有 x?u?ry=??(r)?=?2??(r) ?x?xx?u?r1=??(r)?=??(r) ?y?yx?2uy22y??=?(r)+??(r) 243?xxx
?2u1=2???(r) 2?yxy22y1????+?+???=0 这样原方程化为 432xxx既有
?y2?2y????1+?+??=0 2??x?x?亦即
(1+r2)???+2r??=0
这是一可降阶的二阶微分方程，解之得 ?(r)=c1arctanr+c2 故有
yyu=?()=c1arctan+c2
xx22（c1,c2为任意常数）。
例3 函数z=f(x+y)具有二阶连续偏导数，且满足
?2z?2z1?z+2?+z=z2+y2，求z的表达式。 2?x?yx?x解: 设z=f(r)，r=x2+y2，则
dz?zdz?rdzx?zdzx=?=?，2=2?2+?drrdr?xdr?xdrr?x222r?xr2xr
d2z?2z2同理可求2，代入原方程得2+z=r，解得z=c1cosr+c2sinr+r2?2
dr?y所以z=c1cosx2+y2+c2sinx2+y2+x2+y2?2 (二)练习
⒈设z=?x2y0?2zf(t,e)dt，其中f具有一阶连续偏导数,求。
?x?yt（2xf+2xy(f1+e3x2yf2）
?2u?2u?u?u2.已知函数u=u(x,y)满足方程2+2++=0，试确定参数a,b使得原方程在
?x?y?x?y变换u(x,y)=V(x,y)eax+by下不出现一阶偏导数项。
（a=?,b=121） 23.设函数z=f(x,y)在点(1,1)可微，且f(1,1)=1，
?f?f=2，=3，?x(1,1)?y(1,1)?(x)=f(x,f(x,x))，求
9.2.3 隐函数求导
(一)例题
d3?(x)。 （51） dxx=1例1 设y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数,其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求
dzdy，。 dxdx解:分别在z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0两边对x求导，得
?x?dz(f+xf?)Fy?xfFdy?dz=?dx=f+x(1+)f??Fy+xf?Fz?dx?dx解得??dydz?F+F?+F??dy=?Fx+(f+xf?)Fz=0xyz??dxdxdx?z?Fy+xfF??z?0) (Fy+xfF例2 设函数u=f(x,y,z)具有连续偏导数，且z=z(x,y)，由方程xe?ye=ze确定, 求du。
解: du=xyz?u?udx+dy，方程组两边对x 求导, 得 ?x?y
?u?z?z?z=fx+fz，ex+xex=ez+zez ?x?x?x?x?zex+xex?uex+xex?uey+yey所以，，同理 =z=fx+fzz=fy?fzzzzz?xe+ze?xe+ze?ye+ze
??ex+xex?ey+yey?所以du=??fx+fzez+zez??dx+??fy?fzez+zez??dy
????例3．设有三元方程xy?zlny+exz=1，根据隐函敌存在定理，存在点(0,l,1)的一个邻
域,在此邻域内该方程
(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y)
(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y) (C)可确定两个具有连续偏导数由隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y) (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z) 解:选(D)
例4 。设二元函数z=z(x,y)有二阶连续偏导数。且
?f?0，证明: 对任意的c,f(x,y)=c?y?f2?2f?f?f?2f?f2?2f为一直线的充要条件是：()?2+()=0 22?y?x?x?y?x?y?x?yd2y证明:f(x,y)=c为一直线, 当且仅当2=0。在f(x,y)两边对x求导,
dxfx+fydyfdy=?x，再对x求导得： =0，有dxfydxdydydyd2yfxx+fxy+(fyx+fyy)+fy2=0
dxdxdxdxdydy2d2y+fyy()+fy2=0 （1） 即 fxx+2fxydxdxdxd2y必要性：若(x,y)=c为一直线，则2=0，由（1）式
dxfxx+2fxydydy+fyy()2=0 dxdx （2）
即得
?f?f()222?f?x?f+?x?f=0 ?2?f?x?y?f2?y2?x2()?y?y2?f2?2f?f?f?2f?f2?2f整理得 ()?2+()=0 22?y?x?x?y?x?y?x?y充全性:若(3)成立,可推出(2)式成立，即fxx+2fxy （3）
dydy+fyy()2=0 dxdxd2yd2y=0，而fy?0，故有2=0，即(x,y)=c为一直线。 比较（1）式, 则有fydx2dx
例5 设函数z(x,y)由方程F(x+?z?zzz,y+)=0所确定，证明：x+y=z?xy
?x?yyx1z1zx)+F2(?2+zx)=0，两边同乘x2y，得 yxx证明：方程两边对x求偏导，得 F1(1+
yzF2?x2yF1xzF1?y2xF2xzx=，由对称性得yzy=，将此两式相加得
xF1+yF2xF1+yF2?z?z+y=z?xy ?x?yx(二)练习1. 设函数z=f(u)，方程u=?(u)+?xyp(t)dt确定u是x,y的函数，其中
?z?z+p(x)。 ?x?yf(u),?(u)可微，p(u),??(u)连续，且??(u)?1，求p(y) （0）
9.2.4 偏导数应用 (一)例题
例1 求函数u=xy+ez沿曲线x=t,y=t2?2,z=t?t3在点M(1,?1,0)处切线方向的方向导数。
解 点M(1,?1,0)对应着 t=1，曲线在点M处切线的方向向量为
?(1,2t,1?3t2)M=?(1,2,?2)。
其方向余弦为cos?=?，cos?=?132?2， cos?=?，因而所求方向导数为 33
??u??u?u?u122?1??=?cos?+cos?+cos?=??1?+1??1?=? ????lM??x?y?z3333????M
工科数学分析下学期复习
