第八章 微分方程
4.1方程的分类与解法及结构定理
4.1.1 一阶，可分离变量方程
? 一阶变量分离方程
dydydy=f(x)g(y)?=f(x)dx??=?f(x)dx+C dxg(y)g(y)? 齐次方程
令
dyy=f() dxxu+xdu=f(u) dxydydu=u，y=xu，=u+x xdxdx4.1.2 一阶线性非齐次方程
齐次方程
dy+p(x)y=0 dx
?p(x)dx通解 y=ce?(c=?ec1)
标准形
dy+p(x)y=q(x) dx通解
?p(x)dx??p(x)dxdx? y=e?c+q(x)e?????伯努利方程 令z=y1?n得
dydy+P(x)y=Q(x)yn(n?0,1)?y?n+P(x)y1?n=Q(x) dxdxdz+(1?n)P(x)z=(1?n)Q(x) dx(n)(n)=f(x)接连积分n次，便得到微分方程y=f(x)的含有n个任意
4.1.3 特殊二阶方程 降阶法
? 微分方程y常数的通解。 ? ?
y??=f(x,y?) y??=f(y,y?)
令y?=p(x) 则y??=p?(x)?p?=f(x,p)
令y?=p(y) 则y??=p?p(n)p?p=f(y,p)
? 首次积分方法若F(x,y,y?,?,y)=d?(x,y,y?,?,y(n?1))则称 dx这样就把原方程降?(x,y,y?,?,y(n?1))=c为方程F(x,y,y?,?,y(n))=0的首次积分。了一阶。特别地，二阶的就变成一阶方程了。
4.1.4 二阶（高阶）线性常系数方程
1．线性方程解的结构理论
定理1（叠加原理） 设y1(x),y2(x),?,yn(x)是齐次方程的解，则它们的线性组合
c1y1(x)+c2y2(x)+?+cnyn(x)=?cjyj(x)也是齐次方程的解，其中c1,c2,?,cn是任意
j=1n常数。
n定理2 设y(x)是非齐次方程的一个解， y1(x),y2(x),?yn(x)是对应的齐次方程的解，
~则
?cy(x)+y(x)也是非齐次方程的解，其中c,c,?,c是任意常数。
jj~12nj=1定理3 （二阶齐次线性微分方程通解的结构） 设y1(x)和y2(x)(a?x?b)是方程
y??+a1(x)y?+a2(x)y=0
（3）
的两个线性无关特解，则y=c1y1(x)+c2y2(x) （c1,c2是任意常数）是方程（3）的通解。
对于二阶非齐次线性微分方程
y??+a1(x)y?+a2(x)y=f(x)
（4）
有如下的定理。
定理4（二阶非齐次线性微分方程通解的结构） 设y*(x)是方程（4）的一个特解，y1(x)和y2(x)(a?x?b)是方程（4）对应的齐次线性方程（3）的两个线性无关解，则
y=c1y1(x)+c2y2(x)+y*(x)
是方程（4）的通解。
2．齐次方程 y(n) (5)
+a1y(n?1)+?+any=0?特征方程 ?n+a1?n?1+?+an=0
综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程y??+py?+qy=0的通解的步骤如下： 第一步 写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0 第二步 求出特征方程的两个根?1,?2。
第三步 根据特征方程两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（3）的通解 特征方程r+pr+q=0的两个根?1,?2 两个不相等的实根?1,?2 两个相等的实根?1=?2 一对共轭复根?1,2=??i? 2微分方程y??+py?+qy=0的通解 y=C1e?1x+C2e?2x y=(C1+C2x)e?1x y=e?x(C1cos?x+C2sin?x) 对于高阶常系数齐次线性微分方程可以根据下表给出的特征方程的根写出对应齐次线
性微分方程的解如下：
特征方程的根 单实根? 一对单复根?1,2=??i? k重实根? k重复根?1,2=??i? 微分方程通解中的对应项 给出一项Ce 给出两项e?x(C1cos?x+C2sin?x) 给出k给出k项：e?x(C1+C2x+?+Ckxk?1)项 给出2k项：e?x[(C1+C2x+?+Ckxk?1)cos?x ＋ ?x(D1+D2x+?+Dkxk?1)sin?x] 3．非齐次方程 y??+py?+qy=f(x)
其通解是y=y1+y 其中y1是对应齐次方程的解，y是非齐次方程的解。
**f(x)=e?xPm(x)
特解
y*(x)=xke?xQm(x) k是特征根?的重复次数，
f(x)=e?x[Al(x)cos?x+Bn(x)sin?x] 特解y*=xke?x[Pm(x)cos?x+Qm(x)sin?x]
k是特征根?+i?的重复次数。m=max{l,n} 4．欧拉方程 xyn(n)+a1xn?1y(n?1)+?+any=f(x)
t令x=e 或 t=lnx，则
d2ydy?dydydt1dyd2y1?d2ydy?d3y1?d3y???，2=2?，?=?3+2=?=22?dx3x3?dt3?… x?dtdtdtdtdxdtdxxdtdx????d，则上述结果可简记为 dt2若引入微分算子符号D=d2ydy=(D2?D)y=D(D?1)y xy?=Dy，xy??=2?dtdtd3yd2ydyxy???=3?32+2=(D3?3D2+2D)y=D(D?1)(D?2)y
dtdtdt3…
一般地 xy
k(k)=D(D?1)?(D?k+1)y
4.2一般题
（1）例题
例1 求y???+6y??+(9+a2)y?=1的通解,其中a为大于零的常数。
解:特征方程r3+6r2+(9+a2)r=0，特征根r1=0，r2,3=?3?ai，齐次方程通解
Y(x)=c1+e?3x(c2cosax+c3sinax)，特解形式y*(x)=xkQm(x)e?x，其中?=0，故
k=1，Qm(x)=A，y*(x)=Ax，代入原方程,得A=∴ 通解y(x)=Y(x)+1 29+ax
9+a2例2 设非齐次线性微分方程y?+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任意常数,则该方程的通解是
(A)C[y1(x)-y2(x)]， (B) y1(x)+C[y1(x)-y2(x)] ， (C)C[y1(x)+y2(x)]，（D）y1(x)+C[y1(x)+y2(x)] 解:选(B)
例3 设y1(x),y2(x)为二阶常系数线性齐次方程y??+p(x)y?+q(x)y=0的两个特解，则由
y1(x)与y2(x)能够成该方程的通解，其充分条件是
?(x)?y2(x)y1?(x)=0 （B）y1(x)y2?(x)?y2(x)y1?(x)?0 （A）y1(x)y2?(x)+y2(x)y1?(x)=0 （D）y1(x)y2?(x)+y2(x)y1?(x)?0 （C）y1(x)y2解：由（B）可知
?(x)y1?(x)y(x)y2??C，可知，即lny2(x)?lny1(x)+lnC，故2y2(x)y1(x)y1(x)y1(x),y2(x)线性无关。
例4 求方程y???y=e+sinx的特解形式。 解:r?1=0,r1,2=?1,y*1(x)=xQm(x)e2kx?x=axex
*y2(x)=xke?x(Am(x)cos?x+Bm(x)sin?x)=bcosx+csinx
所以y*(x)=axe+bcosx+csinx
例5在下列微分方程中,以y=C1e+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通
xx解的是( )。
(A)y???+y???4y??4y=0 (B) y???+y??+4y?+4y=0 （C）y????y???4y?+4y=0（D）y????y??+4y??4y=0 解：选(D)
例6 设二阶常系数线性微分方程y??+?y?+?y=?ex的一个特解为y*(x)=e2x+ex+xex求?,?,?及其通解。
解法1：由y*(x)=e2x+ex+xex可知特征根r1=1,r2=2
故特征方程为(r?r1)(r?r2)=r2?3r+2=0，从而?=?3,?=2，将xe代入原方程，得?=?1，通解为y(x)=c1ex+c2e2x+xex 解法2：将y*(x)=e2x+ex+xex代入原方程
得(4+2?+?)e2x+(3+2?+?)ex+(1+?+?)xex=?ex
x?4+2?+?=0??=?3??故?3+2?+?=? 所以??=2 ?1+?+?=0??=?1??例7 设F(x)=f(x)g(x)，其中f(x),g(x)满足f?(x)=g(x),g?(x)=f(x)，且
f(0)=0,f(x)+g(x)=2ex.，求F(x)
解：F?(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=f2(x)+g2(x)
=(f(x)+g(x))2?2f(x)g(x)=4e2x?2F(x) ?F'(x)+2F(x)=4e2x2x?2x即?，解得F(x)=e?e ?F(0)=0例8．设对于任意实数s和t，有f(s+t)=f(s)+f(t)+2st，且f'(0)=1，求f(x)。 解:令s=t=0f(0)=0
f?(x)=limh→0f(x+h)?f(x)f(h)+2xhf(h)?f(0)=lim=2x+lim=2x+1 h→0h→0hhh22故f(x)=x+x+c，代入初值f(0)=0，得c=0，f(x)=x+x
工科数学分析下学期复习
