经济数学基础 第12章 假设检验
2
第二单元 T检验与x检验
一、学习目标
通过本课的学习，熟练掌握单正态总体方差未知时均值的检验方法( T检验
2?法)，掌握单正态总体方差的检验方法 (检验法).
二、内容讲解
(T检验法)我们数理统计面对的是随机现象，面对的研究对象总体并不完全了解，如期望未知，解决的方法有三个：
点估计：用样本的均值作为总体的均值的估计值，从另一个角度提出解决未知参数的问题；区间估计：未知参数落在区间内的概率是?，另一种问题就是要回答数学期望是不是等于
?0的问题，这就是假设检验的问题.
2
单正态总体未知方差?时均值的检验(T检验法)
2X~N(?,?),其中?2未知，现要通过抽样检测判断???0? 问题:已知总体
x??01n2T?s?(xi?x)2????0，选取样本统计量n?1i?1s/n，假设
x??0~t(n?1)在假设成立的条件下，s/n根据显著性水平?,确定接受域[－
t?(n?1)P(
t?(n?1)2t?(n?1)，
2].
其中
2满足关系
x??0?t?(n?1))?1??s/n2
?t?(n?1)查t分布表，由自由度n?1和2查出2，满足
——422——
经济数学基础 第12章 假设检验
P(x??0?t?(n?1)s/n2〕＝1－?
t?(n?1)x??0即：－
2≤s/n≤
t?(n?1)2
此时接受
???0，否则拒绝假设.
(x2检验)单正态总体方差的检验(x2检验)
222???0X~N(?,?)?问题:已知总体,其中未知，现要通过抽样检测判断? 22???01.假设，
(n?1)s22.选取样本的统计量
2?2??02?0
(n?1)s2因为在假设
时，
2?0~?2(n?1)
3.根据显著性水平?,确定拒绝域[?1，?2]和拒绝域(0，?1)和(?2，＋?)其中
?1，?2分别满足下列条件
P((n?1)s22?0??1)??2，
P((n?1)s22?0??2)??2
?2?n?12具体由和查分布表而得到.
(n?1)s24．计算样本值
2?0，视其属于什么区域而判断接受假设，还是拒绝假设.
2??22??2?问题思考：检验的接受域是[－，2]吗？ ?2?答案：不是，应为[
1?22??，2]. ——423——
经济数学基础 第12章 假设检验
三、例题讲解
例1对一批新的存贮缸进行耐裂试验,抽测五个,得爆破压力为(单位：克/米2)：545，545，530，550，545。爆压是服从正态分布的,过去这种缸的平均爆压为549,问这批新缸的平均爆压有否显著差别?
x?5492解: 假设?＝549，因未知?,故采用统计量s/n
?由?＝0.05,和自由度n－1＝4, 2＝0.025，查t分布表得
t?2＝2.7764
2由样本计算得:x＝543，s＝57.5
T?x?549543?549s/n＝57.5/5≈ －1.77∈[-2.7764，2.7764]
故接受假设?＝549，即新缸平均爆压和旧缸无显著差别.
2X~N(?,?),从中抽取一组样本测得数据5.0，例2 已知总体4.8，5.1，5.2，5.0。
问在显著水平?＝0.1下能否认为??5.0？
?t?解假设??5.0由n?1?4及2＝0.05，查t分布表得2＝2.1318
1(5.0?4.8?5.1?5.2?5.0)?5.02x5由样本计算得: ＝
1s2＝5?1[（5.0－5.02）2+（4.8－5.02）2+…＋（5.0－5.02）2]
——424——
经济数学基础 第12章 假设检验
1＝4[0.022+0.222+…＋0.022]=0.022
x?5.05.02?5.0s/n＝0.022/5≈ 0.30∈[－2.1318，2.1318]
所以接受假设，即可以认为??5.0.
2?0例3某车间生产铜丝,折断力服从正态分布,其方差为＝64,今从一批产品中抽
10根作试验,结果为(个)578，572，570，568，572，570，572，596，584，570。 问是否可相信这批铜丝折断力方差也是64?(取?＝0.05)
解 假设
?2＝64
?2?n?1?92由，＝0.025，查分布表得?2＝19.023
?2?n?1?92由，1－＝0.975，查分布表得?1＝2.700
接受域为[2.700，19.023]
1102(x?x)?75.73?i2计算得x＝575.2，s＝n?1i?1
(n?1)s2于是
2?0?681.6?10.65?[2.700,19.023]64
所以接受假设，即认为这批铜丝折断力的方差也是64。
四、课堂练习
——425——
经济数学基础 第12章 假设检验
练习15个人彼此独立地测量同一块土地，分别测得其面积为（单位：平方千
米）：1.27，1.24，1.21，1.28，1.23。设测量值服从正态分布，试根据这些数据检验假设
H0：这块土地的实际面积为1.23平方千米，取??0.05.
2N(?,?)，本题是在显著水平??0.05下，检设这块土地的测量面积为X，X～
验假设，这是单个正态总体题，用T检验法.
X~N(?,?2)，方差?未知时关于均值?的假设检验问2由于是对总体均值?的双边检验，因此零假设为
H0:??1.23，备择假设为H1:??1.23.
2练习2某种品牌的电池使用寿命长期以来服从方差为??5000小时2 的正态
分布，今有一批这种型号的电池，从生产情况来看，使用寿命波动性较大，为判断这种看法是否符合实际，从中随机抽取了26只电池，测出使用寿命的样本方差
s2?7000小时2 ，问根据这个数字能否断定这批电池使用寿命的波动性较以往有显
著变化？（取??0.02）
2N(?,?)，本题是在显著水平中；??0.02下，XX解:设电池的使用寿命为，～
2H0:?2?5000?检验假设；这是对总体方差的双边检验问题.这是单个正态总体，2备择假设为H1:??5000.
五、课堂作业
1．按照规定，每100g的罐头番茄汁，维生素C(Vc)的含量不得少于21mg，现从某厂生产的一批罐头中抽取17个，已知Vc的含量（单位：mg）如下： 17，22，21，20，23，21，19，15，13，23，17，20，29，18，22，16，25 已知Vc的含量服从正态分布，试以0.025的检验水平检验该批罐头的Vc含量是否
——426——
第二单元 T检验与x2检验
