函数与方程（1） 教学目标： 1、理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系 2、掌握零点存在的判定条件． 教学重点：零点的概念及存在性的判定． 教学难点：零点的确定． 教学过程： 一、知识点点拨： 1、函数零点的概念： 对于函数y?f(x)(x?D)，把使f(x)?0成立的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点． 2、函数零点的意义： 函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根，亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 即：方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点． 3、函数零点的求法： 求函数y?f(x)的零点： 1 （代数法）求方程f(x)?0的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y?f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质○找出零点． 4、利用函数的性质找出零点．（零点存在性的探索） （Ⅰ）观察二次函数f(x)?x2?2x?3的图象： 1 在区间[?2,1]上有零点______； ○． f(?2)?_______，f(1)?_______, f(?2)·f(1)_____0（＜或＞）2 在区间[2,4]上有零点______； f(2)·f(4)____0（＜或＞）○． （Ⅱ）观察下面函数y?f(x)的图象 1 在区间[a,b]上______(有/无)零点； f(a)·f(b)_____0（＜或＞）○． 2 在区间[b,c]上______(有/无)零点； f(b)·f(c)_____0（＜或＞）○． --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- １
3 在区间[c,d]上______(有/无)零点； f(c)·f(d)_____0（＜或＞）○． 函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y?f(x)在区间[a,b]上图象是连续不断）的一条曲线，并且有f(a)?f(b)?0，那么函数y?f(x)在区间内有零点，即存在c?(a,b)，使得f(c)?0，这个c也就是方程f(x)=0的根(注意：（a,b）反之不一定成立) 二、例题讲解 例１、已知函数f?x?的图象是不间断的，并有如下的对应值表： x f?x? 1 8 2 7 3 –3 4 5 5 –5 6 –4 7 –8 那么函数在区间（1，6）上的零点至少有（ ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 分析：f(2)?0解：略 例２、方程xlnx?2必有一个根的区间是（ ） ,f(3)?0,f(4)?0,f(5)?0 ?1?A.?1,2? B.?2,3? C.?,1? D.?3,??? ?e?分析：可用零点存在定是验证 解：略 例３、（1）求证：函数f(x)?x?x?1在区间??2,?1? 上存在零点． 32（2）当m? （给出一个实数值即可）时，函数f(x)?x?x?m在区间??2,?1?上存在零点． 32分析：因为f(?2)?0,f(?1)?0，由零点存在定理可知存在零点 解：略 例4、：（1）求函数y?x?64x的零点 （2）设函数f(x)??3?2x?2,x?[1,??)2?x?2x,x?(?1,1)，求函数y?f(x)?1的零点 4分析：f(x)的零点就是方程f(x)?0的实根 解：略 四、课堂小练： 1、求下列函数的零点 （1） y?2x(x?2)?3； （2）y?(x?1)(x?3x?1) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ２
22、．若函数f?x??ax?b只有一个零点2，那么函数g?x??bx2?ax的零点是（ ） Ａ、0,2 Ｂ、 0,2111 Ｃ、 0,? Ｄ、 ? 2223、对于函数f?x??x?bx?c，若f?m??0,f?n??0(m 大致图象（a?0） 得出的结论???0?b??0 ???2a??f?0??0???0?b??0 ??2a???f?0??0f?0??0 a?0） a?0） 大致图象（得出的结论???0?b??0 ???2a??f?0??0???0?b??0 ???2a??f?0??0表二：（两根与k的大小比较） f?0??0 一个根小于k， 分布情况两根都小于k即 两根都大于k即 一个大于k即 x1?k,x2?k x1?k,x2?k x1?k?x2 大致图象（kk k --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ４ 得出的结论???0?b??k ???2a??f?k??0???0?b??k ???2a??f?k??0f?k??0 a?0） 分布情况大致图象（a?0） 得出的结论 大致图象（得出的结论???0?b??k ???2a??f?k??0???0?b??k ???2a??f?k??0表三：（根在区间上的分布） 两根有且仅有一根在f?k??0 两根都在?m,n?内 ?m,n?内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在?m,n?内， 另一根在?p,q?内，m?n?p?q ???0??f?m??0??f?n??0 ?b?m???n2a??f?m??f?n??0 ?f?m??0??f?n??0??f?m?f?n??0或 ???f?p?f?q??0?f?p??0??f?q??0?--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ５
高中数学必修1 函数与方程
