上海市闵行区2015-2016学年第一学期高三一模
数 学 试 卷(文科) 2016.1
(满分150分,时间120分钟)
考生注意:
1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚.
2.请按照题号在答题纸各题答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.本试卷共有23道试题.
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.若复数z满足iz?3?i(i为虚数单位),则|z|? .2 2.若全集U?R,函数y?x的值域为集合A,则eUA? .(??,0) 3.方程4?2?6?0的解为 .x?log23 4.函数f?x??5.不等式
xx12cos(??x)sinx的最小正周期T= .?
sin(??x)cosx11?的解集为 .(0,2) x26.若一圆锥的底面半径为3,体积是12?,则该圆锥的侧面积等于 .???
??????????????7.已知△ABC中,AB?4i?3j,AC??3i?4j,其中i、j是基本单位向量,则△ABC的面积为 .
25 28.在2017年的上海高考改革方案中,要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门,那么小明同学的选科方案有 种.10
S3S2S??5,则limn? .5
n??n232x?110.若函数f(x)?2,且f(x)在[m,??)上单调递增,则实数m的最小值等于 . 1
9.若Sn是等差数列?an?的前n项和,且
x2y2?1(a?1)上运动,F1、F2是椭圆?的左、右焦11.若点P、Q均在椭圆?:2?2aa?1?????????????点,则PF1?PF2?2PQ的最大值为 .2a
??0x?4?cosx, ?12.已知函数f(x)??,若实数a、b、c互不相等,且满足2? x?4??x?5,1
f(a)?f(b)?f(c),则a?b?c的取值范围是 .(8, 10)
13.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为
bd*和(a,b,c,d?N),则acb?d是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道??3.14159???,若令a?c314916???,则第一次用“调日法”后得是?的更为精确的过剩近似值,即10155223116???,若每次都取最简分数,那么第四次用“调日法”后可得?的近似分数为 .
71051n14.数列?an?的前n项和为Sn,若对任意n?N*,都有Sn?(?1)an?n?n?3,则
211?n 数列?a2n?1?的前n项和为 .?n33?4
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题只有一个正确答案.考生应在答
题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.若a,b?R,且ab?0,则“a?b”是“
ba??2等号成立”的( A ). ab(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件 16.设f(x)?2?5x?10x2?10x3?5x4?x5,则其反函数的解析式为( C ).
(A) y?1?5x?1 (B) y?1?5x?1 (C) y??1?5x?1 (D) y??1?5x?1 17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足范围是( B ).
(A)?0,a?b?cc?,则角A的ba?b?c????? (B) ??????? (C) 0,,????????????? (D) ?,?????? ?18.函数f(x)的定义域为??1,1?,图像如图1所示;函数g(x)的定义域为??1,2?,图像如图2所示.A?xf(g(x))?0,B?xg(f(x))?0,则A?B中元素的个数为( C ).(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
y 1 x 2
????y 1 1 -1 -1 O 1 2 x -1 O 图1 图2
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分12分)
C1
如图,三棱柱ABC?A11B1C1中,侧棱AA?底面ABC,
A1
B1
?,D为棱AA1中点,证??明异面直线B1C1与CD所成角为,并求三棱柱
?AA1?AB?2,BC?1,?BAC?D
C A
B
ABC?A1B1C1的体积.
[证明]?在三棱柱ABC?A11B1C1中,侧棱AA?底面ABC,
BC//B1C1,??BCD或它的补角即为异面直线B1C1与CD所成角,?????2分
由AB?2,BC?1,?BAC???以及正弦定理得sin?ACB??,??ACB?即??BC?AC,????4分
又?BC?AA1,????6分 1,?BC?面ACC1A?BC?CD??????8分
?所以异面直线B1C1与CD所成角的为.???????? 10分
21V?S?AA??3?1?2?3. ?????12分 三棱柱ABC?A的体积为BC△ABC11112
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第(1)小题满分8分,第(2)小题满分6分.
如图,点A、B分别是角?、?的终边与单位圆的交点,0????????. 2y B O x 23(1)若?=?,cos??????,求sin2?的值;
34(2)证明:cos(???)?cos?cos??sin?sin?.
A 2[解](1)方法一:?cos??????,
31?cos(2??2?)?2cos2(???)?1=? ?3分
93?13?2?)??, ?????????????6分 ??=?,即cos(4293
1?sin2??. ?????????????8分
9方法二:?cos??????23222,?=?,即?cos??sin??, ????3分
43223?sin??cos??822,两边平方得,1?sin2?? ???????????6分
931?sin2??. ?????????????8分
9(2)[证明]由题意得,OA?(cos?,sin?),OB?(cos?,sin?) ?OA?OB=cos?cos??sin?sin? 又因为OA与OB夹角为???,OA?OB?1
?OA?OB=OA?OBcos(???)?cos(???) ?????????12分 综上cos(???)?cos?cos??sin?sin?成立. ???????????14分 21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分. 某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2,海岸边界MPN近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源,需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB,且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P(即直线与曲线相切),如图所示.若曲线段MPN是函数y? ??????10分
a图像的一段,点M到l1、点Nl2的距离分别为8千米和1千米,x到l2的距离为10千米,点P到l2的距离为2千米.以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy. (1)求曲线段MPN的函数关系式,并指出其定义域; (2)求直线AB的方程,并求出公路AB的长度(结果精确到1米). [解](1)由题意得M(1,8),则a?8,故曲线段MPN的函数关系式为y?
O y A M l2 大海 P N l1 B x 8
,?4分 x4又得N(10,),所以定义域为?1,10?. ????????????6分
5(2)由(1)知P(2,4),设直线AB方程为y?4?k(x?2),
4
?y?4?k(x?2)?由?得 8y??x?kx2?2(2?k)x?8?0,??4(2?k)2?32k?4(k?2)2?0?8分 ?k?2?0,?k??2,所以直线AB方程为y??2x?8, ?????? 10分 得A(0,8)、B(4,0), ??????????????????12分 所以AB?64?16?45?8.944千米. 答: 公路AB的长度为8.944千米. ???14分 22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2) (3)小题满分各6分. 已知椭圆?的中心在坐标原点,且经过点(1,3),它的一个焦点与抛物线2斜率为k的直线l交抛物线?于A、B两点,交椭圆?于C、D?:y2?4x的焦点重合,两点.
(1)求椭圆?的方程;
(2)直线l经过点F?1,0?,设点P(?1,k),且△PAB的面积为43,求k的值; (3)若直线l过点M?0,?1?,设直线OC,OD的斜率分别为k1,k2,且等差数列,求直线l的方程.
121,,成k1kk29?1x2y2?2?2?1[解](1)设椭圆的方程为2?2?1?a?b?0?,由题设得?a,?2分 4bab?a2?b2?1??a2?4x2y2??2??1 ??????????4分 ,?椭圆?的方程是
43?b?3(2)设直线l:y?k(x?1),由??y?k(x?1),得k2x2?2(k2?2)x?k2?0 2?y?4x,l与抛物线?有两个交点,k?0,??16(k2?1)?0,
4(k4?4k2?4)?4k44(k2?1)2则AB? ??????????6分 ?1?k?k2k2P(?1,k)到l的距离d?3kk?12,又S△PAB14(k2?1)3k??43 ?43,??222kk?15
上海市闵行区2016年高三数学一模(含答案)
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