上海市闵行区2015-2016学年第一学期高三一模
数 学 试 卷（文科） 2016.1
（满分150分，时间120分钟）
考生注意：
1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．
2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有23道试题．
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．若复数z满足iz?3?i（i为虚数单位），则|z|? .2 2．若全集U?R，函数y?x的值域为集合A，则eUA? .(??,0) 3．方程4?2?6?0的解为 .x?log23 4．函数f?x??5．不等式
xx12cos(??x)sinx的最小正周期T= .?
sin(??x)cosx11?的解集为 .(0,2) x26．若一圆锥的底面半径为3，体积是12?，则该圆锥的侧面积等于 .???
??????????????7．已知△ABC中，AB?4i?3j，AC??3i?4j，其中i、j是基本单位向量，则△ABC的面积为 .
25 28．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有 种.10
S3S2S??5，则limn? .5
n??n232x?110．若函数f(x)?2，且f(x)在[m,??)上单调递增，则实数m的最小值等于 . 1
9．若Sn是等差数列?an?的前n项和，且
x2y2?1(a?1)上运动，F1、F2是椭圆?的左、右焦11．若点P、Q均在椭圆?:2?2aa?1?????????????点，则PF1?PF2?2PQ的最大值为 .2a
??0x?4?cosx， ?12．已知函数f(x)??，若实数a、b、c互不相等，且满足2? x?4??x?5，1
f(a)?f(b)?f(c)，则a?b?c的取值范围是 .(8， 10)
13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为
bd*和（a,b,c,d?N）,则acb?d是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道??3.14159???，若令a?c314916???，则第一次用“调日法”后得是?的更为精确的过剩近似值，即10155223116???，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得?的近似分数为 .
71051n14．数列?an?的前n项和为Sn，若对任意n?N*，都有Sn?(?1)an?n?n?3，则
211?n 数列?a2n?1?的前n项和为 .?n33?4
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答
题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．若a,b?R，且ab?0，则“a?b”是“
ba??2等号成立”的（ A ）. ab(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件 16．设f(x)?2?5x?10x2?10x3?5x4?x5，则其反函数的解析式为（ C ）.
(A) y?1?5x?1 (B) y?1?5x?1 (C) y??1?5x?1 (D) y??1?5x?1 17．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，满足范围是（ B ）.
(A)?0,a?b?cc?，则角A的ba?b?c????? (B) ??????? (C) 0,,????????????? (D) ?,?????? ?18．函数f(x)的定义域为??1,1?，图像如图1所示；函数g(x)的定义域为??1,2?，图像如图2所示.A?xf(g(x))?0,B?xg(f(x))?0,则A?B中元素的个数为（ C ）.(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
y 1 x 2
????y 1 1 -1 -1 O 1 2 x -1 O 图1 图2
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19.（本题满分12分）
C1
如图，三棱柱ABC?A11B1C1中，侧棱AA?底面ABC，
A1
B1
?，D为棱AA1中点，证??明异面直线B1C1与CD所成角为，并求三棱柱
?AA1?AB?2，BC?1,?BAC?D
C A
B
ABC?A1B1C1的体积．
[证明]?在三棱柱ABC?A11B1C1中，侧棱AA?底面ABC，
BC//B1C1，??BCD或它的补角即为异面直线B1C1与CD所成角，?????2分
由AB?2，BC?1,?BAC???以及正弦定理得sin?ACB??，??ACB?即??BC?AC，????4分
又?BC?AA1，????6分 1，?BC?面ACC1A?BC?CD??????8分
?所以异面直线B1C1与CD所成角的为．???????? 10分
21V?S?AA??3?1?2?3． ?????12分 三棱柱ABC?A的体积为BC△ABC11112
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分．
如图，点A、B分别是角?、?的终边与单位圆的交点，0????????． 2y B O x 23（1）若?=?，cos??????，求sin2?的值；
34（2）证明：cos(???)?cos?cos??sin?sin?．
A 2[解]（1）方法一:?cos??????，
31?cos(2??2?)?2cos2(???)?1=? ?3分
93?13?2?)??， ?????????????6分 ??=?，即cos(4293
1?sin2??． ?????????????8分
9方法二:?cos??????23222，?=?，即?cos??sin??， ????3分
43223?sin??cos??822，两边平方得，1?sin2?? ???????????6分
931?sin2??． ?????????????8分
9（2）[证明]由题意得，OA?(cos?,sin?)，OB?(cos?,sin?) ?OA?OB=cos?cos??sin?sin? 又因为OA与OB夹角为???，OA?OB?1
?OA?OB=OA?OBcos(???)?cos(???) ?????????12分 综上cos(???)?cos?cos??sin?sin?成立． ???????????14分 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数y? ??????10分
a图像的一段，点M到l1、点Nl2的距离分别为8千米和1千米，x到l2的距离为10千米，点P到l2的距离为2千米.以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy. （1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域； （2）求直线AB的方程，并求出公路AB的长度（结果精确到1米）. [解]（1）由题意得M(1,8)，则a?8，故曲线段MPN的函数关系式为y?
O y A M l2 大海 P N l1 B x 8
，?4分 x4又得N(10,)，所以定义域为?1,10?. ????????????6分
5（2）由（1）知P(2,4)，设直线AB方程为y?4?k(x?2)，
4
?y?4?k(x?2)?由?得 8y??x?kx2?2(2?k)x?8?0,??4(2?k)2?32k?4(k?2)2?0?8分 ?k?2?0，?k??2，所以直线AB方程为y??2x?8， ?????? 10分 得A(0,8)、B(4,0)， ??????????????????12分 所以AB?64?16?45?8.944千米． 答: 公路AB的长度为8.944千米. ???14分 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2) (3)小题满分各6分． 已知椭圆?的中心在坐标原点，且经过点(1,3)，它的一个焦点与抛物线2斜率为k的直线l交抛物线?于A、B两点，交椭圆?于C、D?:y2?4x的焦点重合，两点．
（1）求椭圆?的方程；
（2）直线l经过点F?1,0?，设点P(?1,k)，且△PAB的面积为43，求k的值； （3）若直线l过点M?0,?1?，设直线OC，OD的斜率分别为k1,k2，且等差数列，求直线l的方程.
121,,成k1kk29?1x2y2?2?2?1[解]（1）设椭圆的方程为2?2?1?a?b?0?，由题设得?a，?2分 4bab?a2?b2?1??a2?4x2y2??2??1 ??????????4分 ，?椭圆?的方程是
43?b?3（2）设直线l:y?k(x?1)，由??y?k(x?1),得k2x2?2(k2?2)x?k2?0 2?y?4x,l与抛物线?有两个交点，k?0，??16(k2?1)?0，
4(k4?4k2?4)?4k44(k2?1)2则AB? ??????????6分 ?1?k?k2k2P(?1,k)到l的距离d?3kk?12，又S△PAB14(k2?1)3k??43 ?43,??222kk?15
上海市闵行区2016年高三数学一模(含答案)
