四川省宜宾市第四中学2021届高三数学上学期开学考试试题 理
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的。
1.已知集合A?{x|1?x?4},B?{x|(x?2)(x?4)?0,x?Z},则AB?
A.{x|2x4} B.{x|1?x?4} C.{2,3} D.{2,3,4}
2.若iz??1?i,则复数z在复平面内对应的点位于 A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下:
关于该便利店1月份至5月份的下列描述中,正确的是 A.各月的利润保持不变
B.各月的利润随营业收入的增加而增加 D.各月的营业收入与成本支出呈正相关关系
C.各月的利润随成本支出的增加而增加
x?x4.若f?x??e?a?e为奇函数,x?R,则f?x?在0,f?0?处的切线方程为 A.y?0
B.y?x
??C.y?2x D.y?2ex
25.已知抛物线C:y?4x的焦点为F,M为C上一点,若MF?4,则△MOF(O为坐标原点)
的面积为
A.3 B.23 C.43 D.63 6.已知cos????4?a??,则sin2a= ?4?5B.
A.-7 257 25C.-
15D.
1 57.已知向量a,b,a?2,b??cos?,sin?????R?,若a?2b?23,则a与b夹角是
A.
5? 6B.
2? 3C.
? 3D.
? 68.在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳(biē nào).如图,网格纸上小正方形的边长1,粗实线画出的是某鳖臑的三视图,则该鳖臑表面积为 A.6 C.27
B.21 D.54
?x?y?0?y?39.已知x,y满足?x?y?0,,则的取值范围为
x?2?x?1??3???A.?,4?
2
B.(1,2]
C.(??,0][2,??) D.(??,1)?[2,??)
x2y2210.若双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的一条渐近线被圆?x?2??y2?4所截得的弦长为2,
ab则C的离心率为
A.23 3B.2
C.3 D.2
x2y211.已知双曲线?:2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F,过原点的直线l与双曲线?的左、右
ab两支分别交于A,B两点,延长BF交右支于C点,若AF?FB,|CF|?3|FB|,则双曲线?的离心率是
A.
17 3B.
3 2C.
5 3D.
10 2x212.设函数f(x)?e?x?2,g(x)?lnx?x?3若实数a,b满足f(a)?0,g(b)?0则
A.g(a)?0?f(b) B.f(b)?0?g(a)
C.0?g(a)?f(b) D.f(b)?g(a)?0
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
52??13.?x2??的展开式中x4项的系数为_______. x??14.已知等差数列?an?的前n项和为Sn,且a1?a5??14,S9??27,则使得Sn取最小值时的n为____.
15.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:?x?1???y?2??16,若等腰直角?PAB的斜边AB为圆C的一条弦,则PC的最大值为______.
2216.若三棱锥S?ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,AB?23,SA?SB?SC?7,则该三棱锥的外接球的表面积为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试
题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分。
17.(12分)已知在?ABC中,?ACB?120?,BC?2AC. (1)求tanA的值;
(2)若AC?1,?ACB的平分线CD交AB于点D,求CD的长.
18.(12分)为更好地落实农民工工资保证金制度,南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工(其中技术工、非技术工各50名)的月工资,得到这100名农民工的月工资均在
?25,55?(百元)内,且月工资收入在?45,50?(百元)内的人数为15,并根据调查结果画出如图所示
的频率分布直方图:
(1)求n的值;
(2)已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名,非技术工有19名. ①完成如下所示2?2列联表
技术工 非技术工 总计 月工资不高于平均数 50 50 月工资高于平均数 总计 50 50 100
②则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?
n?ad?bc?参考公式及数据:K2?,其中n?a?b?c?d.
?a?b??c?d??a?c??b?d?P?K2?k0? 20.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 19.(12分)如图,三棱锥P?ABC中,PA?PB?PC?(1)证明:面PAB?面ABC; (2)求二面角C?PA?B的余弦值.
3,CA?CB?2,AC?BC
x2y220.(12分)设F1,F2分别是椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左、右焦
ab点,已知椭圆的长轴为22,P是椭圆C上一动点,PF的最大值为1. 1?PF2(1)求椭圆C的方程;
(2)过点?2,0?的直线l交椭圆C于A,B两点, M为椭圆C上一点,O为坐标原点,且满足
?4543?,OAOBmOM,其中m???,求AB的取值范围. 53??21.(12分)已知函数f(x)?aln(x?1)(a?0).
(1)当a?2时,若函数F(x)?f(x?1)?1在x1,x2(x1?x2)处导数相等,证明:xF?x1??F?x2??2;
(2)是否存在a,使直线l是曲线y?f(x)的切线,也是曲线g(x)?x(x??1)的切线,而且x?1这样的直线l是唯一的,如果存在,求出直线l方程,如果不存在,请说明理由.
四川省宜宾市第四中学2021届高三数学上学期开学考试试题理
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