【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
20．（Ⅰ）2；（Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ） f'?x??e?2x?1， f'?0??0，由导数性质得f?x?是（0，
x+∞）上的增函数，是（-∞，0）上的减函数，由此能求出f（x）的零点个数．
xx（Ⅱ）当x∈[-1，1]时， f'?x??alna?2x?lna ?2x?a?1lna，由导数性质得f
??（x）是[-1，0]上的减函数，[0，1]上的增函数，由此利用导数性质和构造法能求出a的取值范围． 试题解析：
（Ⅰ）f?x??e?x?x?4，∴f'?x??e?2x?1，∴f'?0??0，
x2xx当x?0时， e?1，∴f'?x??0，故f?x?是?0,???上的增函数， x当x?0时， e?1，∴f'?x??0，故f?x?是???,0?上的减函数，
2 f?2??e?2?0，∴存在x1??1,2?是f?x?在?0,???上的唯一零点； f?1??e?4?0，
f??2??11?2?0f?1??2?0，∴存在x2???2,?1?是f?x?在???,0?上的， ??2ee唯一零点，
所以f?x?的零点个数为2．
xx（Ⅱ）f'?x??alna?2x?lna ?2x?a?1lna，
x当x?0时，由a?1，可知a?1?0， lna?0，∴f'?x??0， x当x?0时，由a?1，可知a?1?0， lna?0，∴f'?x??0，
??当x?0时， f'?x??0，
答案第10页，总11页
∴f?x?是?1,0上的减函数， 0,1上的增函数，
∴当x??1,1时， f?x?min?f?0?， f?x?max为f??1?和f?1?中的较大者． 而f?1??f??1??a???????11?2lna，设g?x??x??2lnx（x?1）， ax212?1?∵g'?x??1?2? ???1??0（当且仅当x?1时等号成立），
xx?x?∴g?x?在?0,???上单调递增，而g?1??0， ∴当x?1时， g?x??0，即a?1时， a?1?2lna?0，∴f?1??f??1?． a∴f?x?在?1,1上的最大值为f?1??a?lna. ??答案第11页，总11页
北京四中2019届高三第一学期期中考试数学（理科）试题
