v1.0 可编辑可修改 解析几何中定值与定点问题
【探究问题解决的技巧、方法】
(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．
(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．
【实例探究】 题型1：定值问题:
例1：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的
焦点，离心率等于
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若
为定值.
解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b = 1.
∴椭圆C的方程为
（II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为易知F点的坐标为（2，0）.
将A点坐标代入到椭圆方程中，得
1
v1.0 可编辑可修改 去分母整理得
方法二：设A、B、M点的坐标分别为又易知F点的坐标为（2，0）.
显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得
又
例2.已知椭圆C经过点A(1,3/2),两个焦点为(-1,0),(1,0). 1）求椭圆方程
2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值 （1）a2-b2=c2 =1
设椭圆方程为x2/（b2+1）+y2/b2=1
将（1，3/2）代入整理得4b^4-9b2-9=0 解得b2=3 （另一值舍） 所以椭圆方程为x2/4+y2/3=1 （2） 设AE斜率为k
则AE方程为y-(3/2)=k(x-1)① 2
v1.0 可编辑可修改 x2/4+y2/3=1 ②
①，②联立得出两个解一个是A（1,3/2）另一个是E（x1，y1） ①代入②消去y得（1/4+k2/3）x2-（2k2/3-k）x+k2/3-k-1/4=0 根据韦达定理 x1·1=（k2/3-k-1/4）/（1/4+k2/3）③ 将③的结果代入①式得
y1=（-k2/2-k/2+3/8）/(1/4+k2/3)
设AF斜率为-k，F（x2，y2） 则AF方程为y-（3/2）=-k（x-1）④ x2/4+y2/3=1 ② ②④联立同样解得
x2=（k2/3+k-1/4）/（1/4+k2/3） y2=（-k2/2+k/2+3/8）/（1/4+k2/3） EF斜率为
（y2-y1）/(x2-x1)=1/2
所以直线EF斜率为定值，这个定值是1/2。
x2y26例3、已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，且过点(2,1).
3ab（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点C（-1，0）且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A,B，试问在x轴上是否存在点M，使MA?MB?存在，请说明理由.
53k?12是与k无关的常数若存在，求出点M的坐标；若不
b1c66解：（1）∵椭圆离心率为，∴?，∴2?.
3a3a3又椭圆过点（2，1），代入椭圆方程，得所以a2?5,b2?21?2?1. 2ab25. 33
解析几何中定值与定点问题
