西北工业大学附属中学数学几何模型压轴题检测题（Word版 含答
案）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
【答案】（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S△PMN最大＝【解析】 【分析】
（1）由已知易得BD?CE，利用三角形的中位线得出PM?49． 211CE，PN?BD，即可22得出数量关系，再利用三角形的中位线得出PM//CE得出?DPM??DCA，最后用互余即可得出位置关系；
（2）先判断出?ABD??ACE，得出BD?CE，同（1）的方法得出PM?1BD，2PN?1BD，即可得出PM?PN，同（1）的方法由2?MPN??DCE??DCB??DBC??ACB??ABC，即可得出结论；
（3）方法1：先判断出MN最大时，?PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大?AM?AN，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD最大时，?PMN的面积最大，而BD最大是AB?AD?14，即可得出结论． 【详解】 解：（1）
点P，N是BC，CD的中点，
?PN//BD，PN?1BD， 2点P，M是CD，DE的中点，
?PM//CE，PM?1CE， 2AB?AC，AD?AE， ?BD?CE， ?PM?PN， PN//BD，
??DPN??ADC， PM//CE，
??DPM??DCA， ?BAC?90?，
??ADC??ACD?90?，
??MPN??DPM??DPN??DCA??ADC?90?， ?PM?PN，
故答案为：PM?PN，PM?PN；
（2）?PMN是等腰直角三角形． 由旋转知，?BAD??CAE，
AB?AC，AD?AE，
??ABD??ACE(SAS)，
??ABD??ACE，BD?CE，
11利用三角形的中位线得，PN?BD，PM?CE，
22?PM?PN，
??PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM//CE， ??DPM??DCE，
同（1）的方法得，PN//BD， ??PNC??DBC，
?DPN??DCB??PNC??DCB??DBC，
??MPN??DPM??DPN??DCE??DCB??DBC
??BCE??DBC??ACB??ACE??DBC ??ACB??ABD??DBC??ACB??ABC， ?BAC?90?，
??ACB??ABC?90?， ??MPN?90?，
??PMN是等腰直角三角形；
（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，?PMN是等腰直角三角形，
?MN最大时，?PMN的面积最大， ?DE//BC且DE在顶点A上面， ?MN最大?AM?AN，
连接AM，AN，
在?ADE中，AD?AE?4，?DAE?90?，
?AM?22，
在Rt?ABC中，AB?AC?10，AN?52， ?MN最大?22?52?72，
?S?PMN最大?111149PM2??MN2??(72)2?． 22242方法2：由（2）知，?PMN是等腰直角三角形，PM?PN?1BD， 2?PM最大时，?PMN面积最大， ?点D在BA的延长线上，
?BD?AB?AD?14，
?PM?7，
?S?PMN最大?1149PM2??72?． 222【点睛】
此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出
11PM?CE，PN?BD，解（2）的关键是判断出?ABD??ACE，解（3）的关键
22是判断出MN最大时，?PMN的面积最大．
2．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，
1AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，3连接PC，且ABE为等边三角形．
AP＝
（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是 ，AP与EC的数量关系是 ．
（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若
不成立，请说明理由．
（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为93，求线段AC的长． 4
【答案】（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3）【解析】 【分析】
67 7（1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；
（3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论． 【详解】
解：（1）∵△ABE是等边三角形， ∴∠ABE＝60°，AB＝BE，
∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC， ∴∠CBP＝60°，BC＝BP，
∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE， 即∠ABP＝∠EBC， ∴△ABP≌△EBC（SAS）， ∴AP＝EC；
故答案为：∠ABP＝∠EBC，AP＝EC； （2）成立，理由如下， ∵△ABE是等边三角形， ∴∠ABE＝60°，AB＝BE，
∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC， ∴∠CBP＝60°，BC＝BP，
∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE， 即∠ABP＝∠EBC， ∴△ABP≌△EBC（SAS），
∴AP＝EC；
（3）过点C作CD⊥m于D，
∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC， ∴△PBC是等边三角形， ∴
3293PC＝，
44∴PC＝3，
设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t， ∴AC＝2t， ∵m∥n，
∴∠CAD＝∠AEB＝60°， ∴AD＝
1AC＝t，CD＝3AD＝3t， 2∵PD2+CD2＝PC2， ∴（2t）2+3t2＝9， ∴t＝37（负值舍去）， 7∴AC＝2t＝【点睛】
67． 7本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得解．
3．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC上的两个动点（与点A、B、C不重合），且始终保持BP?BQ，AQ?QE，QE交正方形外角平分线CE于点E，AE交CD于点F，连结PQ．
西北工业大学附属中学数学几何模型压轴题检测题(Word版 含答案)
