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数列求和汇总答案
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和地最基本最重要地方法.
n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1?n2、等比数列求和公式：Sn??a1(1?q)a1?anq
?(q?1)?1?q?1?q?123n例1、已知log3x?，求x?x?x?????x????地前n项和.
log23?11解：由log3x??log3x??log32?x?
log2321、 等差数列求和公式：Sn?由等比数列求和公式得Sn?x?x2?x3?????xn（利用常用公式） 11(1?)nx(1?xn)22＝1－1 ＝＝
12n1?x1?222222222练习：求?1?2?3?4?5?6?...?99?100地和.
22222222解：?1?2?3?4?5?6??99?100 ??22?12???42?32???62?52????1002?992?
??2?1??2?1???4?3??4?3???6?5??6?5???3?7?11?＋199
由等差数列地求和公式得
?100?99??100?99?
50?3＋199?S50＝＝5050
2二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列地前n项和公式时所用地方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}地前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.b5E2RGbCAP 例2求和：Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1………………………① 解：由题可知，{(2n?1)xn?1}地通项是等差数列{2n－1}地通项与等比数列{xn?1}地通项之积
设xSn?1x?3x2?5x3?7x4?????(2n?1)xn……………………….②（设制错位） ①－②得(1?x)Sn?1?2x?2x2?2x3?2x4?????2xn?1?(2n?1)xn（错位相减）
1?xn?1?(2n?1)xn 再利用等比数列地求和公式得：(1?x)Sn?1?2x?1?x(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?(1?x)∴Sn?
(1?x)22462n练习：求数列,2,3,???,n,???前n项地和.
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2n1}地通项是等差数列{2n}地通项与等比数列{}地通项之积 n2n22462n设Sn??2?3?????n…………………………………①
222212462nSn?2?3?4?????n?1………………………………②（设制错位） 222221222222n①－②得(1?)Sn??2?3?4?????n?n?1（错位相减）
222222212n?2?n?1?n?1
22n?2∴Sn?4?n?1
2解：由题可知，{
三、反序相加法求和
这是推导等差数列地前n项和公式时所用地方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1?an).p1EanqFDPw 例3求sin1?sin2?sin3?????sin88?sin89地值
解：设S?sin1?sin2?sin3?????sin88?sin89………….① 将①式右边反序得
2?2?2?2?2?2?2?2?2?2?S?sin289??sin288??????sin23??sin22??sin21?…………..②（反序） 又因为sinx?cos(90??x),sin2x?cos2x?1
①+②得（反序相加）
2S?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)?????(sin289??cos289?)＝89
∴S＝44.52、
12223292102?2?2???2?2求和：2 2222210?19?28?32?91?10
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见地数列，然后分别求和，再将其合并即可.DXDiTa9E3d ?n1?1??21????x?0,x?1,y?1? ???x?2?????x?n????y??y?y????111?? 解:原式=?x?x2?x3???xn???????n??yy2y??例4、求和:??x??x1?xn=
1?x??1?1???1?n?y?y? ??11?yx?xn?1yn?1= ?n?11?xy?yn2 / 6
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111?4,2?7,???,n?1?3n?2，… aaa111解：设Sn?(1?1)?(?4)?(2?7)?????(n?1?3n?2)
aaa练习：求数列地前n项和：1?1,将其每一项拆开再重新组合得
111?2?????n?1)?(1?4?7?????3n?2)（分组） aaa(3n?1)n(3n?1)n当a＝1时，Sn?n?＝（分组求和）
2211?n(3n?1)na?a1?n(3n?1)na?当a?1时，Sn?＝ ?1a?1221?aSn?(1?11111,2,3,???,(n?),???地前n项和. 练习：求数列2482n1111解：Sn?1?2?3?????(n?n)24821111?(1?2?3?????n)?(?2?3?????n)2222 11?n(n?1)?1?n22五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中地具体应用.裂项法地实质是将数列中地每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和地目地.通项分解（裂项）如：RTCrpUDGiT 1?22?3n?n?11?n?1?n（裂项） 解：设an?n?n?1111??????则Sn?（裂项求和）
1?22?3n?n?1＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)
＝n?1?1
练习：求13，115，135，163之和. 解：?11111111??????31535631?33?55?77?911111111111?(1?)?(?)?(?)?(?)23235257279 1?1111111???(1?)?(?)?(?)?(?)?2?3355779?114?(1?)?299例5求数列
1,1,???,1,???地前n项和.
六、合并法求和
针对一些特殊地数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊地性质，因此，在求数列地和时，可
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数列求和合集例题与标准答案)
