变化率与导数、导数的计算
【考点梳理】
1.导数的概念
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数:①定义:称函数lim
Δx→0
y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率x0
=lim
Δx→0
fx0+Δx
Δx
-f
Δy
为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作Δx
f′(x0)或
x=x即f′(y′|x0)=lim0
Δx→0
fΔy
=limΔx
Δx→0
x0+Δx
Δx
-fx0
.
②几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线处的切线斜率.相应地,切线方程为
(2)函数f(x)的导函数:称函数
y=f(x)在点(x0,f(x0))
y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).f′(x)=lim
Δx→0
fx+Δx
Δx
-fx
为f(x)的导函数.
2.基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
*
f(x)=x(n∈Q)f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=af(x)=e
x
n
f′(x)=n·x
n-1
f′(x)=cos_xf′(x)=-sin_xf′(x)=aln_a(a>0)
f′(x)=ef′(x)=
x
x
x
f(x)=logax f(x)=ln x
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
1
xln a
1
f′(x)=
x
f(3)
g
【考点突破】
xx
′=
fxg
x-f[gx
x
2
gx
(g(x)≠0).
考点一、导数的计算
【例1】(1)已知函数f(x)=(2x+1)e,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为________. (2)已知函数________.
(3)已知f(x)=xln x,若f′(x0)=2,则x0等于( A.e B
2
x
y=f(x)的导函数为
π
f′(x)且f(x)=xf′+sin x,则
3
2πf′=
3
)
.ln 2
.e C3
(3) B
6-4π
x
ln 2. D
2
[答案] (1) 3 (2)[解析] (1)
因为f(x)=(2x+1)e,
x
x
x
所以f′(x)=2e+(2x+1)e=(2x+3)e,所以f′(0)=3e=3.
π
(2)因为f(x)=x f′+sin x,
3
20
π
所以f′(x)=2x f′+cos x.
3ππππ
所以f′=2××f′+cos.
33333π
所以f′=.
36-4π
(3) f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1,由f′(x0)=2,即ln x0+1=2,解得x0=e. 【类题通法】
熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提,求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量提高运算速度,减少差错.
【对点训练】
1.已知函数f(x)=(x+2)(ax+b),且f′(1)=2,则f′(-1)=( A.-1 C.2 [答案] B [解析]
B.-2 D.0
22
)
f(x)=(x+2)(ax+b)=ax+(2a+b)x+2b,
3
2242
f′(x)=4ax+2(2a+b)x为奇函数,
所以f′(-1)=-f′(1)=-2.
2.f(x)=x(2 017+ln x),若f′(x0)=2 018,则x0等于( A.e
2
)
B.1 D.e
C.ln 2 [答案] B
[解析] f′(x)=2 017+ln x+x×=2 018+ln x,
1
x
故由f′(x0)=2 018,得2 018+ln x0=2 018,则ln x0=0,解得x0=1. 3.已知函数(
) A.-e C.1 [答案] B
[解析] 由f(x)=2x f′(1)+ln x,得f′(x)=2 f′(1)+,
1
B.-1 D.e
f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2x·f′(1)+ln x,则f′(1)等于
x
∴f′(1)=2f′(1)+1,则f′(1)=-1.
考点二、导数的几何意义
【例2】已知函数f(x)=x-4x+5x-4. (1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.[解析]
(1)∵f′(x)=3x-8x+5,∴f′(2)=1,
23
2
又f(2)=-2,∴曲线在点(2,f(2))处的切线方程为y+2=x-2,
即x-y-4=0. (2)设曲线与经过点
0
20
A(2,-2)的切线相切于点P(x0,x0-4x0+5x0-4),
32
∵f′(x)=3x-8x0+5,∴切线方程为
y-(-2)=(3x-8x0+5)(x-2),
3
2
2
0
又切线过点P(x0,x0-4x0+5x0-4),∴x-4x+5x0-2=(3x-8x0+5)(x0-2),整理得(x0-2)(x0-1)=0,解得x0=2或1,∴经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为【类题通法】
求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,
曲线y=f(x)在点P(x0,
2
30
20
20
x-y-4=0,或y+2=0.
f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,
.
再依据已知点在切线上求解
【对点训练】
134
已知曲线y=x+.
33
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.[解析] (1)
根据已知得点
P(2,4)是切点且y′=x,
y′|
x=2
2
∴在点P(2,4)处的切线的斜率为∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为即4x-y-4=0.
=4,
y-4=4(x-2),
(2)设曲线y=x+与过点P(2,4)的切线相切于点33则切线的斜率为∴切线方程为
2
0
1
3
4
134Ax0,3x0+3,
y′|
x=x
0
=x,
20
1342
-x0+=yx0(x-x0),
332
30
4
即y=x·x-x+.
33∵点P(2,4)在切线上,
234
∴4=2x-x0+,
33
20
即x0-3x0+4=0,∴x0+x0-4x0+4=0,
∴x(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
∴(x0+1)(x0-2)=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为
2
203
2
2
32
x-y+2=0或4x-y-4=0.
2x-y+1=0,则点P的坐标是
【例3】(1)若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线________.
x+1
(2)已知曲线y=在点(3,2)处的切线与直线
x-1
A.-2
1C.-2(3)已知曲线________.
[答案] (1) (e[解析] (1)
,e)
(2) A (3) 8
B.2
1D.2
ax+y+1=0垂直,则a=( )
y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线
y=ax+(a+2)x+1相切,则a=
2
1
由题意得y′=ln x+x·=1+ln x,直线2x-y+1=0的斜率为2.
x
设P(m,n),则1+ln m=2,解得m=e,所以n=eln e=e,即点P的坐标为(e,e).(2)由y′=又切线与直线
-2
x-
2
得曲线在点(3,2)处的切线斜率为-
1,2
ax+y+1=0垂直,则a=-2,故选A.
x
1
x=1=2. (3)法一∵y=x+ln x,∴y′=1+,y′|∴曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为∵y=2x-1与曲线y=ax+(a+2)x+1相切,
∴a≠0(当a=0时曲线变为y=2x+1与已知直线平行).
2
y-1=2(x-1),即y=2x-1.
2019高考数学考点突破——导数及其应用与定积分:变化率与导数、导数的计算
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)