变化率与导数、导数的计算
【考点梳理】
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：①定义：称函数lim
Δx→０
y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率x0
＝lim
Δx→０
fx0＋Δx
Δx
－f
Δy
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作Δx
f′（x0)或
x＝x即f′（y′｜x0)＝lim0
Δx→０
fΔy
＝limΔx
Δx→０
x0＋Δx
Δx
－fx0
.
②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′（x0)的几何意义是曲线处的切线斜率．相应地，切线方程为
(2)函数f(x)的导函数：称函数
y＝f(x)在点(x0，f(x0))
y－f(x0)＝f′（x0)(x－x0)．f′（x)＝lim
Δx→０
fx＋Δx
Δx
－fx
为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
*
f(x)＝x(n∈Q)f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝af(x)＝e
x
n
f′（x)＝n·x
n－1
f′（x)＝cos_xf′（x)＝－sin_xf′（x)＝aln_a(a＞0)
f′（x)＝ef′（x)＝
x
x
x
f(x)＝logax f(x)＝ln x
3．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′（x)±g′（x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′（x)g(x)＋f(x)g′（x)；
1
xln a
1
f′（x)＝
x
f(3)
g
【考点突破】
xx
′＝
fxg
x－f[gx
x
2
gx
(g(x)≠0)．
考点一、导数的计算
【例1】(1)已知函数f(x)＝(2x＋1)e，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________. (2)已知函数________.
(3)已知f(x)＝xln x，若f′（x0)＝2，则x0等于( A．e B
2
x
y＝f(x)的导函数为
π
f′（x)且f(x)＝xf′＋sin x，则
3
2πf′＝
3
)
．ln 2
．e C3
(3) B
6－4π
x
ln 2． D
2
[答案] (1) 3 (2)[解析] (1)
因为f(x)＝(2x＋1)e，
x
x
x
所以f′(x)＝2e＋(2x＋1)e＝(2x＋3)e，所以f′(0)＝3e＝3.
π
(2)因为f(x)＝x f′＋sin x，
3
20
π
所以f′(x)＝2x f′＋cos x.
3ππππ
所以f′＝2××f′＋cos.
33333π
所以f′＝.
36－4π
(3) f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，由f′(x0)＝2，即ln x0＋1＝2，解得x0＝e. 【类题通法】
熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．
【对点训练】
1．已知函数f(x)＝(x＋2)(ax＋b)，且f′(1)＝2，则f′(－1)＝( A．－1 C．2 [答案] B [解析]
B．－2 D．0
22
)
f(x)＝(x＋2)(ax＋b)＝ax＋(2a＋b)x＋2b，
3
2242
f′（x)＝4ax＋2(2a＋b)x为奇函数，
所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
2．f(x)＝x(2 017＋ln x)，若f′（x0)＝2 018，则x0等于( A．e
2
)
B．1 D．e
C．ln 2 [答案] B
[解析] f′（x)＝2 017＋ln x＋x×＝2 018＋ln x，
1
x
故由f′（x0)＝2 018，得2 018＋ln x0＝2 018，则ln x0＝0，解得x0＝1. 3．已知函数(
) A．－e C．1 [答案] B
[解析] 由f(x)＝2x f′(1)＋ln x，得f′（x)＝2 f′(1)＋，
1
B．－1 D．e
f(x)的导函数为f′（x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于
x
∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.
考点二、导数的几何意义
【例2】已知函数f(x)＝x－4x＋5x－4. (1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[解析]
(1)∵f′（x)＝3x－8x＋5，∴f′(2)＝1，
23
2
又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，
即x－y－4＝0. (2)设曲线与经过点
0
20
A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x0－4x0＋5x0－4)，
32
∵f′（x)＝3x－8x0＋5，∴切线方程为
y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，
3
2
2
0
又切线过点P(x0，x0－4x0＋5x0－4)，∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为【类题通法】
求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，
曲线y＝f(x)在点P(x0，
2
30
20
20
x－y－4＝0，或y＋2＝0.
f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′（x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，
.
再依据已知点在切线上求解
【对点训练】
134
已知曲线y＝x＋.
33
(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程．[解析] (1)
根据已知得点
P(2，4)是切点且y′＝x，
y′|
x＝2
2
∴在点P(2，4)处的切线的斜率为∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为即4x－y－4＝0.
＝4，
y－4＝4(x－2)，
(2)设曲线y＝x＋与过点P(2，4)的切线相切于点33则切线的斜率为∴切线方程为
2
0
1
3
4
134Ax0，3x0＋3，
y′|
x＝x
0
＝x，
20
1342
－x0＋＝yx0(x－x0)，
332
30
4
即y＝x·x－x＋.
33∵点P(2，4)在切线上，
234
∴4＝2x－x0＋，
33
20
即x0－3x0＋4＝0，∴x0＋x0－4x0＋4＝0，
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为
2
203
2
2
32
x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.
2x－y＋1＝0，则点P的坐标是
【例3】(1)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线________．
x＋1
(2)已知曲线y＝在点(3，2)处的切线与直线
x－1
A．－2
1C．－2(3)已知曲线________.
[答案] (1) (e[解析] (1)
，e)
(2) A (3) 8
B．2
1D．2
ax＋y＋1＝0垂直，则a＝( )
y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线
y＝ax＋(a＋2)x＋1相切，则a＝
2
1
由题意得y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.
x
设P(m，n)，则1＋ln m＝2，解得m＝e，所以n＝eln e＝e，即点P的坐标为(e，e)．(2)由y′＝又切线与直线
－2
x－
2
得曲线在点(3，2)处的切线斜率为－
1，2
ax＋y＋1＝0垂直，则a＝－2，故选A.
x
1
x＝1＝2. (3)法一∵y＝x＋ln x，∴y′＝1＋，y′｜∴曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线方程为∵y＝2x－1与曲线y＝ax＋(a＋2)x＋1相切，
∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行).
2
y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
2024高考数学考点突破——导数及其应用与定积分：变化率与导数、导数的计算
