中考相似专题复习
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相似三角形基本类型
一、“X”型.
二、“子母”，“A型”，“斜A”. 三、“K”型 四、共享型
一、圆中相似三角形的判定
例1、如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗请证明你的结论．
例2、如图, △ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线分别交⊙O,BC于点D,E,连结BD.请找出图中各对相似三角形,并给出证明. 变式：
1.（滨州）如图，直线PM切⊙O于点M，直线PO交⊙O于A，B点，弦AC∥PM，连接OM、BC.
求证：（1）△ABC∽△POM；（2）2OA2=OPBC．
CM2.（日照）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：BAO（1）D是BC的中点；
P（2）△BEC∽△ADC； （3）BC2=2AB·CE
二、利用圆中相似三角形证明圆中的比例线段
例3、如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为?上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E． ????
（1）求证：△ABD为等腰三角形． （2）求证：ACAF=DFFE．
变式：如图，BD为⊙O的直径，AB=AC,AD交BC于点E,AE=2，ED=4,
(1)求证:△ABE∽△ADB; (2)求AB的长；
(3)延长DB到F,使得BF=BO,连接FA,试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由.
三、利用圆中相似进行计算
例4、如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长
线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求证： AB =2BC；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值. 变式1：如图，已知R t△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD．
（1）若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；
A D （2）取BC的中点E，连结ED，试证明ED与⊙O相切． O· B 为圆心，C E 1AC变式2：如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O
2长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连结AE、AD、DC． （1）求证：D是AE的中点；
（2）求证：∠DAO =∠B +∠BAD；
S1（3）若△CEF?，且AC=4，求CF的长.
S△OCD2四、圆的有关线段与相似三角形的综合运用
例5、如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线. 变式1：（日照）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．
求证：（1）∠AOC=2∠ACD；（2）AC2＝AB·AD．
34.（2009年中山）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直， （1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM?x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积； （3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求x的值．
15．（2012自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= _________ cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 _________ cm2．
4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．
12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．
17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似若能，请给出证明，若不能，请说明理由．
19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．
18.（2009泰安）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F。
（1） 求证：FD2=FB●FC。
（2） 若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗并说明理由。
29. （2009肇庆）．如图 ，在△ABC中，AB?AC，?A?36°，线段 AB 的垂直平分线交 AB于 D，交 AC 于 E，连接BE．
（1）求证：∠CBE=36°； （2）求证：AE2?ACEC．
15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．
20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．
（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE； （2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．
10．（8分）（2015广东茂名24，8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜连接MN．
（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值； （2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．
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