实验一 窗函数及其对信号频谱的影响
一. 实验目的
1. 掌握几种典型窗函数的性质、特点，比较几种典型的窗函数对信号频谱的影响。
2. 通过实验认识它们在克服 fft 频谱分析的能量泄漏和栅栏效应误差中的作用，以便在实际工作中能根据具体情况正确选用窗函数 二. 实验原理
1. 信号的截断及能量泄漏效应
数字信号处理的主要数学工具是博里叶变换．应注意到，傅里叶变换是研究整个时间域和频率域的关系。然而，当运用计算机实现工程测试信号处理时，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时间片段进行分析。做法是从信号中截取一个时间片段，然后用观察的信号时间片段进行周期延拓处理，得到虚拟的无限长的信号，然后就可以对信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。
图1 信号的周期延拓
周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下面我们就从数学的角度来看这种处理带来的误差情况。设有余弦信号x(t)在时域分布为无限长(- ∞，∞)，当用矩形窗函数w(t)与其相乘时，得到截断信号xt(t) =x(t)w(t)。根据博里叶变换关系，余弦信号的频谱x(ω)是位于ω。处的δ函数，而矩形窗函数w(t)的谱为sinc(ω)函数，按照频域卷积定理，则截断信号xt(t) 的谱xt(ω) 应为：
将截断信号的谱xt(ω)与原始信号的谱x(ω)相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱．这表明原来的信号被截断以后，其频谱发生了畸变，原来集中在f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏（leakage）。
信号截断以后产生的能量泄漏现象是必然的，因为窗函数w(t)是一个频带无限的函数，所以即使原信号x(t)是限带宽信号，而在截断以后也必然成为无限带宽的函数，即信号在频域的能量与分布被扩展了。又从采样定理可知，无论采样频率多高，只要信号一经截断，就不可避免地引起混叠，因此信号截断必然导致一些误差，这是信号分析中不容忽视的问题。
如果增大截断长度t，即矩形窗口加宽，则窗谱 w(ω)将被压缩变窄（π／t减小）。虽然理论上讲，其频谱范围仍为无限宽，但实际上中心频率以外的频率分量衰减较快，因而泄漏误差将减小。当窗口宽度t趋于无穷大时，则谱窗w(ω)将变为δ(ω)函数，而δ(ω)与x(ω)的卷积仍为x(ω)，这说明，如果窗口无限宽，即不截断，就不存在泄漏误差。
图2 信号截断与能量泄露现象
为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截取函数对信号进行截断，截断函数称为窗函数，简称为窗。泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，如果两侧瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱，为此，在时间域中可采用不同的窗函数来截断信号。 2. 窗函数
实际应用的窗函数，可分为以下主要类型：
a) 幂窗--采用时间变量某种幂次的函数，如矩形、三角形、梯形或其它时间（t）的高次幂； b) 三角函数窗--应用三角函数，即正弦或余弦函数等组合成复合函数，例如汉宁窗、海明窗等；
c) 指数窗--采用指数时间函数，如
形式，例如高斯窗等。
不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的，这主要是因为不同的窗函数，产生泄漏的大小不一样，频率分辨能力也不一样。信号的截断产生了能量泄漏，而用fft算法计算频谱又产生了栅栏效应，从原理上讲这两种误差都是不能消除的，但是我们可以通过选择不同的窗函数对它们的影响进行抑制。图3是几种常用的窗函数的时域和频域波形，其中矩形窗主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度最高，幅值识别精度最低；布莱克曼窗主瓣宽，旁瓣小，频率识别精度最低，但幅值识别精度最高。
图3 几种常用的窗函数的时域和频域波形
对于窗函数的选择，应考虑被分析信号的性质与处理要求。如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，例如测量物体的自振频率等；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。 三. 实验仪器和设备 1. 计算机
2. Labview图形化编程系统 四. 实验内容
1. 设计一个VI，产生周期信号并进行加窗处理，体会加窗对减少频谱能量泄漏的作用。 2. 设计一个VI，产生包含两个频率相近但幅值相差较大的复合周期信号，并对其用不同的窗函数进行加窗处理，体会不同的窗函数对信号进行辨识的作用。
实验二 滤波器及频谱分析
一. 实验目的
1. 通过实验加深了解滤波在信号分析中的作用。
2. 通过实验熟悉典型信号的波形和频谱特征，并能够从信号频谱中读取所需的信息。 二. 实验原理 1. 滤波器
现代的数字采样和信号处理技术已经可以取代模拟滤波器，尤其在一些需要灵活性和编程能力的领域中，例如音频、通讯、地球物理和医疗监控技术。
与模拟滤波器相比，数字滤波器具有下列优点： ? ? ? ?
可以用软件编程 稳定性高，可预测
不会因温度、湿度的影响产生误差，不需要精度组件 很高的性能价格比
在LabVIEW中可以用数字滤波器控制滤波器顺序、截止频率、脉冲个数和阻带衰减等参数。 本节所涉及到的数字滤波器都符合虚拟仪器的使用方法。它们可以处理所有的设计问题、计算、内存管理，并在内部执行实际的数字滤波功能。这样您无需成为一个数字滤波器或者数字滤波的专家就可以对数据进行处理。
采样理论指出，只要采样频率是信号最高频率的两倍以上就可以根据离散的、等分的样本还原一个时域连续的信号。假设对信号以△t为时间间隔进行采样，并且不丢失任何信息，参数 △t 是采样间隔。
可以根据采样间隔计算出采样频率
根据上面的公式和采样理论可以知道，信号系统的最高频率可以表示为：
系统所能处理的最高频率是恩奎斯特频率。这同样适用于数字滤波器。例如，如果采样间隔是0.001秒，那么采样频率是
系统所能处理的最高频率是
下面几种滤波操作都基于滤波器设计技术： ? ? ? ?
平滑窗口
无限冲激响应（IIR）或者递归数字滤波器 有限冲激响应（FIR）或者非递归数字滤波器 非线性滤波器
很多情况下通带的增益在均值附近稍微发生变化是容许的。通带的这种变化被称为通带波
动（passband ripple），也就是实际增益与理想增益之间的差值。在实际使用中阻带衰减（stopband attenuation）也不可能无限接近0，您必须指定一个符合需要的衰减值。通带波动和阻带衰减都使用分贝或者dB为单位，定义是：
其中log10表示基值10的对数，而Ai(f) and A0(f) 分别是频率在滤波前后的幅值。例如，对于–0.02 dB的通带波动，表达式是：
这表明输入输出的幅值非常接近。
如果阻带衰减为–60 dB ，那么可以得到：
这表明输出幅值是输入幅值的1/1000。
衰减值通常用不带负号的分贝为单位，但是默认为负值。
IIR 和 FIR 滤波器
另外一种滤波器分类方法是根据它们的冲激响应的类型。滤波器对于输入的冲激信号（x[0] = 1 且对于所有I<>0，x[i] = 0）的响应叫做滤波器的冲激响应（impulse response），如下图所示。冲激响应的傅立叶变换被称为滤波器的频率响应（frequency response）。根据滤波器的频率响应可以求出滤波器在不同频率下的输出。换句话说，根据它可以求出滤波器在不同频率时的增益值。对于理想滤波器，通频带的增益应当为1，阻带的增益应当为0。所以，通频带的所有频率都被输出，而阻带的所有频率都不被输出。
如果滤波器的冲激响应在一定时间之后衰减为0，那么这个滤波器被称为有限冲激响应（FIR）滤波器。但是，如果冲激响应一直保持，那么这个滤波器被称为无限冲激响应滤波器（IIR）。冲激响应是否有限（即滤波器是IIR还是FIR）取决于滤波器的输出的计算方法。
IIR滤波器和FIR滤波器之间最基本的差别是，对于IIR滤波器，输出只取决于当前和以前的输入值，而对于FIR滤波器，输出不仅取决于当前和以前的输入值，还取决于以前的输出值。简单地说，FIR滤波器需要使用递归算法。
IIR滤波器的缺点是它的相位响应是非线形的。在不需要相位信息的情况下，例如简单的信号监控，那么IIR滤波器就符合需要。而对于那些需要线形相位响应的情况，应当使用FIR滤波器。但是，IIR滤波器的递归性增大了它的设计与执行的难度。
因为滤波器的初始状态是0（负指数是0），所以在到达稳态之前会出现与滤波器阶数相对
测试技术上机实验指导书
