参赛队号 # 1288
目录
一、问题重述 ............................................................................................................................ 2 二、问题提出 ............................................................................................................................ 2 三、问题分析 ............................................................................................................................ 2 四、模型假设 ............................................................................................................................ 2 五、主要符号说明 .................................................................................................................... 3 六、模型建立与求解 ................................................................................................................ 3
6.1探究影响流行音乐风格分类的主要因素 .................................................................. 3
6.1.1旋律对音乐风格的影响 .................................................................................. 3 6.1.2音高对音乐风格的影响 .................................................................................. 6 6.1.3和声对音乐风格的影响 .................................................................................. 7 6.1.4音色对音乐风格的影响 .................................................................................. 7 6.1.5复调对音乐风格的影响 .................................................................................. 7 6.1.6节拍对音乐风格的影响 .................................................................................. 7 6.2对各影响因素进行主成分分析 .................................................................................. 8
6.2.1模型的建立 ...................................................................................................... 8 6.2.2模型的求解 .................................................................................................... 10 6.3用matlab进行音乐特征提取................................................................................... 11
6.3.1利用FFT进行频谱分析 ................................................................................ 11 6.3.2特征提取分析 ................................................................................................ 12 6.3.3特征提取结果 ................................................................................................ 12 6.4基于BP神经网络的分类算法 .................................................................................. 13
6.4.1 BP神经网络介绍 .......................................................................................... 13 6.4.2 BP神经网络训练步骤 .................................................................................. 14 6.4.3 BP神经网络语音特征信号分类 .................................................................. 15 6.4.4 归一化处理 ................................................................................................... 16 6.4.5 结果分析 ....................................................................................................... 16
七、模型的优缺点 .................................................................................................................. 18
7.1层次分析法的优缺点 ................................................................................................ 18 7.2主成分分析法的优缺点 ............................................................................................ 18 7.3 BP神经网络的优缺点 .............................................................................................. 18 八、参考文献 .......................................................................................................................... 19
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一、问题重述
随着互联网的发展，流行音乐的主要传播媒介从传统的电台和唱片逐渐过渡到网络下载和网络电台等。网络电台需要根据收听者的已知喜好，自动推荐并播放其它音乐。由于每个人喜好的音乐可能横跨若干种风格，区别甚大，需要分别对待。这就需要探讨如何区分音乐风格的问题。
在流行音乐中，传统的风格概念包括Pop（流行）、Country（乡村）、Jazz（爵士）、Rock（摇滚）、R&B（节奏布鲁斯）、New Age（新世纪）等若干大类，它们分别可以细分成许多小类，有些小类甚至可以做更进一步的细分。而每首歌曲只能靠人工赋予风格标签。这样的做法有许多不足：有的类别之间关系不清楚，造成混乱；有的类别过度粗略或精细；有的类别标签没有得到公认；有的音乐归属则存在争议或者难以划归。
二、问题提出
建立合理的数学模型，对流行音乐的风格给出一个自然、合理的分类方法，以便给网络电台的推荐功能和其它可能的用途提供支持。
三、问题分析
对于流行音乐风格的分类，要从以下三个方面进行考虑：
（1）探究影响流行音乐风格分类的主要因素。目前，旋律、音高、和声、音色、复调和节拍等都是体现音乐风格的因素。通过建立递阶层次结构，构造判断矩阵并赋值、层次单排序（计算权向量）与检验、主成分分析的数学模型等方法，确定影响流行音乐风格的主要因素；
（2）音乐特征提取。通过FFT进行频谱分析，利用不同类别音乐的统计规律提取特征向量；
（3）进行归一化处理；
（4）利用BP神经网络分类算法进行分类。
四、模型假设
4.1忽略主观因素对流行音乐风格分类的影响 4.2假设每个音乐分类是明确的 4.3假设流行音乐市场处于稳定状态 4.4其他所发生的偶然因素对模型无影响
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五、主要符号说明
Xn Ym Wij、Wjk 神经网络的输入值 神经网络的预测值 神经网络权值 隐含层阈值 输出层阈值 数据序列最小数 数据序列均值 学习速率 a b xmin xmenn ?
六、模型建立与求解
6.1探究影响流行音乐风格分类的主要因素 6.1.1旋律对音乐风格的影响
6.1.1.1分析
旋律亦称曲调，是经过艺术构思而形成的若干乐音的有组织、有节奏的和谐运动。它建立在一定的调式和节拍的基础上，按一定的音高、时值和音量构成的、具有逻辑因素的单声部进行的。在音乐作品中，旋律是表情达意的主要手段，也是一种反映人们内心感受的艺术语言。
对于流行音乐风格分类来说，每个风格各异，歌曲旋律也不尽相同。如rap舞曲它以人声的吟唱加上鼓的清晰浓郁节奏，歌词通俗，朗朗上口；乡村音乐在唱法上多用民间本嗓演唱，形式多为独唱或小合唱，用吉他、班卓琴、口琴、小提琴伴奏。 6.1.1.2模型的建立
因为影响旋律的因素有很多，我们采用层次分析法来解决这一问题。所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。 6.1.1.2.1建立递阶层次结构
AHP递阶层次结构三个层次组成：目标层、准则层、指标层，如图所示：
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6.1.1.2.2构造判断矩阵并赋值
构造判断矩阵时用到1-9标度，对重要性程度按1-9赋值（重要性标度值见下表）
重要性标度 含 义 1 表示两个元素相比，具有同等重要性 3 表示两个元素相比，前者比后者稍重要 5 表示两个元素相比，前者比后者明显重要 7 表示两个元素相比，前者比后者强烈重要 9 表示两个元素相比，前者比后者极端重要 2，4，6，8 表示上述判断的中间值 倒数 若元素I与元素j的重要性之比为aij, 则元素j与元素I的重要性之比为aji=1/aij
6.1.1.2.3 层次单排序（计算权向量）与检验
层次单排序是指每一个判断矩阵各因素针对其准则的相对权重，所以本质上是计算权向量。计算权向量有特征根法、和法、根法、幂法等，这里简要介绍和法。
和法的原理是，对于一致性判断矩阵，每一列归一化后就是相应的权重。对于非一致性判断矩阵，每一列归一化后近似其相应的权重，在对这n个列向量求取算术平均值作为最后的权重。具体的公式是：
1nWi??nj?1a?aijnk?1
kl需要注意的是，在层层排序中，要对判断矩阵进行一致性检验。
在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性和一致性。一般情况下，并不要求判断矩阵严格满足这一性质。但从人类认识规律看，一个正确的判断矩阵重要性排序是有一定逻辑规律的，例如若A比B重要，B又比C重要，则从逻辑上讲，A应该比C明显重要，若两两比较时出现A比C重要的结果，则该判断矩阵违反了一致性准则，在逻辑上是不合理的。
因此在实际中要求判断矩阵满足大体上的一致性，需进行一致性检验。只有通过检
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验，才能说明判断矩阵在逻辑上是合理的，才能继续对结果进行分析。
一致性检验的步骤如下：
第一步，计算一致性指标C.I.（consistency index）
?max?n C.I.?n?1
第二步，查表确定相应的平均随机一致性指标R.I.（random index） 据判断矩阵不同阶数查下表，得到平均随机一致性指标R.I.。
平均随机一致性指标R.I.表（1000次正互反矩阵计算结果） 矩阵阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 R.I. 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 矩阵阶数 9 10 11 12 13 14 15 R.I. 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
第三步，计算一致性比例C.R.（consistency ratio）并进行判断
C.I. C.R.?R.I.
当C.R.<0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，C.R.>0.1时，认为判断矩阵不符合一致性要求，需要对该判断矩阵进行重新修正。
6.1.1.2.4.层次总排序与检验
总排序是指每一个判断矩阵各因素针对目标层（最上层）的相对权重。这一权重的计算采用从上而下的方法，逐层合成。
很明显，第二层的单排序结果就是总排序结果。假定已经算出第k-1层m个元素相对于总目标的权重w(k-1)=(w1(k-1),w2(k-1),…,wm(k-1))T，第k层n个元素对于上一层（第k层）第j个元素的单排序权重是pj(k)=(p1j(k),p2j(k),…,pnj(k))T，其中不受j支配的元素的权重为
(k)(k)(k)(k)
零。令P=(p1,p2,…,pn),表示第k层元素对第k-1层个元素的排序，则第k层元素对于总目标的总排序为：
w=(w1,w2,…,wn)= p w
(k)
(k)
(k)
(k)
T
(k)
(k-1)
或 wi??pij(k)wj(k?1) I=1,2,…,n
(k)mj?1同样，也需要对总排序结果进行一致性检验。
假定已经算出针对第k-1层第j个元素为准则的C.I.j(k)、R.I.j(k)和C.R.j(k), j=1,2,…,m,则第k层的综合检验指标
C.I.j(k)=（C.I.1(k) ,C.I.2(k) ,…, C.I.m(k)）w(k-1) R.I.j(k)=（R.I.1(k) ,R.I.2(k) ,…, R.I.m(k)）w(k-1)
C.R.(k)C.I.(k)? (k)R.I.当C.R.(k)<0.1时，认为判断矩阵的整体一致性是可以接受的。
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音乐风格分类数学建模
