解：作同轴圆柱面为高斯面。根据高斯定理
E?4?rL??q?0
r?R1，R1?r?R2，?q?0E1?0?q??LE2?? 2??0rr?R2，?q?0E3?0 在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变
题7.21：两个同心球面的半径分别为R1和R2，各自带有电荷Q1和Q2。求：（1）各区域电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间的电势差为多少？ 解1：（l）由高斯定理可求得电场分布
E1?0r?R1Q14??0r2erR1?r?R2 r?R2 E2?E3??Q1?Q2er4??0r2由电势V??rE?dl可求得各区域的电势分布。当r?R1时，有 V1??R1rE1?dl??Q14??0R2R1E2?dl???R2E3?dl?11?Q1?Q2???RR???4??R2?02?1Q1Q2??4??0R14??0R2?0?
当R1?r?R2时，有 V2???R2rE2?dl???R2E3?dl?11?Q1?Q2??r?R???4??R
202??Q1Q2??4??0r4??0R2Q14??0当r?R2时，有 V3???rE3?dlQ1?Q2 ?r4??0R2（2）两个球面间的电势差
U12??R2R1E2?dl?Q14??0?11????RR??
2??1题7.22：一半径为R的无限长带电细棒，其内部的电荷均匀分布，电荷的体密度为?。现取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出分布曲线
解：取高度为l、半径为r且与带电律同轴的回柱面为高斯面，由高斯定理 当r?R时 E?2?rl??r2l??0 得E(r)??r 2?0当r?R时E?2?rl??R2l??0 ?R2得E(r)?
2?0r取棒表面为零电势，空间电势的分布有
R?r?当r?R时，V(r)??dr?(R2?r2)
r2?4?00当r?R时，V(r)??rR?R2?R2Rdr?ln 2?0r2?0r图是电势V随空间位置r的分布曲线。
例题3.4 一根质量为m,长为l的匀质棒AB,如图3.8所示,棒可绕一水平的光滑转轴O在竖直平面内转动,O轴离A端的距离为l/3,今使棒从静止开始由水平位置绕O轴转动,求:
(1) 棒在水平位置(启动时)的角速度和角加速度. (2) 棒转到竖直位置时的角速度和角加速度. (3) 棒在竖直位置时,棒的两端和中点的速度和加速
度.
解： 先确定细棒AB对O轴的转动惯量J0,由于O轴与质心轴C的距离为
d?l/2?l/3?l/6,由平行轴定理得
J0?Jc?md2?1l1ml2?m()2?ml2 1269再对细棒进行受力分析:重力,作用在棒中心(重心),方向竖直向下,重力的力矩是变力矩,大小等于mglcosθ/6;轴与棒之间没有摩擦力,轴对棒作用的支撑力垂直于棒与轴的接触面而且通过O点,在棒的转动过程中,这力的方向和大小将是随时间改变的,但对轴的力矩等于零.
(1) 当棒在水平位置(刚启动)时,角速度?0?0.此时??0,由转动定律求得此时的角加速度为
?0?Mmgl/63g?? J0ml2/92l (2) 当棒从?转到?+d?时,重力矩所作的元功为
1 dA?Md??mglcos?d?
6棒从水平位置转到任意位置的过程中,合外力矩所作总功为
11 A??Md???mglcos?d??mglsin?
6600??由定轴转动刚体的动能定理有
11 mglsin??J0?2
62?3gsin?由此可得 ??mgslin ?3J0l在竖直位置时???/2,??0,??3g l(3) 在竖直位置（???/2）下时,棒的A、B点和中点C的速度,加速度分别为
?c??rc??(l/2?l/3)?3gl/6(方向向左) ?A?3gl/3(方向向右),?B?23gl/3(方向向左)
aA??2rA?g,aB?2g,ac?g/2
4-9 图示为一阿特伍德机，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳的两端分别系
有质量为m1和m2的物体，且m1>m2。设定滑轮是质量为M，半径为r的圆盘，绳的质量及轴处摩擦不计，绳子与轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。 [解] 物体m1,m2及滑轮M受力如图所示
RMm1?m2g?T2?N?T1?T1m1m2m2对m1:对m2:对M:?T2?Mg?m1gm1g?T1?m1a (1) T2?m2g?m2a (2)
??T1r?T2r?J? (3)
2又 J?Mr/2 (4)
a?r? (5)
?T1?T1 (6)
T2?T2 (7)
联立（1）-（7）式，解得
?a?(m1?m2)g
m1?m2?M/22m2?M/2m1g
m1?m2?M/22m1?M/2m2g
m1?m2?M/2T1?T2?4-l0 绞车上装有两个连在一起的大小不同的鼓轮(如图)，其质量和半径分别为m=2kg、r=0.05m，M=8kg、R=0.10m。两鼓轮可看成是质量均匀分布的圆盘，绳索质量及轴承摩擦不计。当绳端各受拉力T1=1 kg，T2=2kg时，求鼓轮的角加速度。 [解] 根据转动定律，取顺时针方向为正
?T1r?T2R?J?
(1)
J?mr2/2?MR2/2
(2)
联立(1)，(2)式可得
?2T1r?2T2R2?34.6rad/s ?? 22mr?MR
5、质量为m1和m2的两物体A、B分别悬挂在如图5所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为R和r，两轮的转动惯量分别为J1和J2，轮与轴承间、绳索与轮间的摩擦力均略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和绳的张力。 6、如图6所示，一根长为l，质量为m的匀质细杆，可绕 水平光滑轴在竖直平面内转动，最初棒静止在水平位置，求它下摆到?角时的角速度和角加速度。
7、质量为5kg的一桶水悬于绕在辘轳上的绳子下端，辘轳可视为一质量为10kg的圆柱体。桶从井口由静止释放，求桶下落过程中的绳子张力，辘轳绕轴转动时的转动惯量为
图6 1MR2,其中M和R分别为辘轳的质量和半径，摩擦忽略不计。 25、解：分别对两物体及组合轮作受力分析如图2-43所示，根据质点的牛顿第二定律和
刚体的转动定律，有
m1g?FT1?m1a1 （1） FT2?m2g?m2a2 （2）
?F`T1R-FT2r=?J1+J2?β （3）
? FT1`?FT1 FT2?FT2 （4）
由角加速度和线加速度之间的关系，有
a1??R （5） a2??r （6） 联解（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）式可得 a1?m1R?m2rgR
J1?J2?m1R2?m2r2
大学物理上复习资料 - 图文
