2024-2024 学年第一学期第二次质量检测
数学试题
考试时间：120 分钟
注意事项：
总分：150 分
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。
一、单项选择题(本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题所给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的)
1．已知向量 a ? (3,6,7), b ? (4, m, n) 分别是直线 l1, l2 的方向向量,若 l1//l2 ,则（
）
A. m ? 8, n ? 28
B. m ? 4, m ? 28
C. m ? 8, n ?
28 3
D. m ? 4, n ?
28 3
） 2．不论 m 取何值，直线 mx ? y ? 2m ?1 ? 0 恒过定点（
B． ?? 2,1? C． ?2,?1? （1, ） A．
D．（?1,? ）
）
1
2
? 1
2 ? 1的三个顶点，且圆心在 x 的正半轴上，则该圆的标准方程为（
（x ? 2） B． ? y ? 4
2 2
D． x ? ( y ? ) ?
25 2 3 2
3．一个圆经过椭圆
x2 y2
16 4
A． (x ? ) ? y ?
3 2 2 25 C． (x ? ) ? y ?
2 4 5 2
3 2 2
2
2 4
）
4．与椭圆 9x2 ? 4 y2 ? 36 有相同焦点，且短轴长为 2 的椭圆的标准方程为（
y2 3 2 xA． ? ? 1 4
2
2
y 2B． ? x ? 1
6
x 2C． ? y ? 1
6
y2
5 2 xD． ? ? 1 8
5．双曲线
x2 ?2?的焦点坐标是（ y 1 ） 3
1
A．
? 2 , 0 , 2 , 0
B． ??2 , 0? , ?2 , 0 ?
???
??
?
?
C．
0 , ? 2 , 0 , 2
D． ?0 , ? 2? , ?0 , 2?
?
6．已知 ?M : x2 ? y2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 ，且直线 l : 2x ? y ? 2 ? 0 ， P 为 l 上的动点，过点 P 作 ?M 的
切线 PA ， PB ，切点为 A ， B ，当 PM ? AB 最小时，直线 AB 的方程为（
）
7． ．PA, xPB, ?PC 是从点 P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 60 PC 与平面A 2 ? y1 ?0 B． 2x ? y ?1 ? 0 C． 2x ? y ? 1 ?0 ，那么直线D． 2x ? y ? 1 ? 0 PAB
?
所成角的余弦值是（ ）
2 3 6
C. D.
2 3 3
? 2 ? 1(a ? b ? 0) ， F1、F2 为左、右焦点，若椭圆上存在点 P 满足 | PF1 |? 2 | PF2 | ， x2 y2
8．椭圆
a2 b
A.
B.
则该椭圆的离心率范围是（ ） A. (0, ) B.（ ，)1
C. (0, ]
D.[ ）1 ，
1 2
1 3 1 3 1 3 1 3
二、多项选择题（本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目 要求的,全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分）
9．下列命题中不正确的是（
）
A. a ? b ? a ? b 是 a, b 共线的充要条件
B.若 AB, CD 共线,则 AB // CD
C. A, B, C 三点不共线,对空间任意一点 O ,若 OP ?
OA ? OB ? OC ,则 P, A, B, C 四点共面 3 1 1 4 8 8
D.若 P, A, B, C 为空间四点,且有 PA ? ? PB ? ? PC (PB, PC不共线) ,则 ? ? ? ? 1 是 A, B, C 点
共线的充分不必要条件
10. 下列说法中，正确的有（
）
A. 过点 P ?1, 2? 且在 x、y 轴截距相等的直线方程为 x ? y ? 3 ? 0
B. 直线 y ? 3x ? 2 在 y 轴上的截距为-2
2
C. 直线 x ? 3y ? 1 ? 0 的倾斜角为 60°
D. 过点 ?5, 4? 并且倾斜角为 90 的直线方程为 x ? 5 ? 0
?
） 11．已知曲线 C：mx2+ny2＝1（
A．若 m＞n＞0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上
B．若 m＝n＞0，则 C 是圆，其半径为 n
C．若 mn＜0，则 C 是双曲线，其焦点在 x
轴上
D．若 m＝0，n＞0，则 C 是两条直线
12．如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 P 在线段 B1C （包括端点）上运动,则（ A.直线 BD1 ? 平面 A1C1D
）
B.三棱锥 P ? A1C1D 的体积为定值
C.异面直线 AP 与 A1D 所成角的取值范围是[
, ]
? ?
4 2
D.直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为
6 3
三、填空题（本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.）
13．经过点 P（2，1）且与直线 x﹣2y+4＝0 平行的直线方程为
．
14．设 F1, F2 是双曲线 C : x2 ?
y2 3
? 1 的两个焦点， O 为坐标原点，点 P 在 C 上且 | OP |? 2 ，则
．
△PF1F2 的面积为
15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含 着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河 边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为圆
x2 ? y 2 ? 1 上及其内部，若将军从点 A(2,0)处出发，河岸线所在直线方程为 x ? y ? 3 ，并假定将
军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为
．
16．设 OABC 是棱长为 1 的正四面体， E, F 分别是 AB 与 OC 的中点，则异面直线 OE 与 BF 的距 离是 ．
3
四、解答题（本题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（10 分）已知向量 a ? ?1,1, 0? ， b ? ??1,0, 2? .
?
?
? ? ? ? ?
2a ? b ，求实数 k ； (2)若向量 a ? kb 与 2a ? b 所成角为锐角，求实数 k 的范围. (1)若 a ? kb ∥
?? ??? ?
18.（12 分）已知圆 C 经过点 A(2, 0), B(1, ? 3) ，且圆心 C 在直线 y ? x 上．
(1)求圆 C 的方程；
(2)过点 (1， ) 的直线 l 截圆所得弦长为 2 3 ，求直线 l 的方程．
3 3
19.（12 分）设椭圆 C : 坐标为(2,0)．
(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；
(2)设 O 为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.
x2 2
? y 2 ? 1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，点 M 的
（12 分）已知圆 x ? y ? 4 上一定点 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点． 20.
2 2
(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段 PQ 中点的轨迹方程．
21．(12 分)如图， AD∥BC 且 AD ? 2BC ， AD ? CD ， EG∥AD 且 EG ? AD ， CD∥FG 且
CD ? 2FG ， DG ? 平面 ABCD ， DA ? DC ? DG ? 2 ．
(1)若 M 为 CF 的中点， N 为 EG 的中点，求证： MN ∥平面 CDE ； (2)求二面角 E ? BC ? F 的正弦值； 与平面 ADGE 所成的角为 60 ， (3)若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP?
求线段 DP 的长．
（
22．12 分）已知 A, B 分别为椭圆 E :
a ? y2 ? 1(a ? 1) 的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，AG ? GB ? 8 ．P
为直线 x ? 6 上的动点， PA 与 E 的另一交点为 C ， PB 与 E 的另一交点为 D ．
(1)求 E 的方程；
(2)证明：直线 CD 过定点．
4
山东省枣庄八中2024-2024学年高二上学期第二次质量检测数学试题 Word版含答案
