第三章导数及其应用
3.1导数的概念及运算
专题1 导数的概念与几何意义
■(2015江西南昌十所省重点中学高考模拟,导数的概念与几何意义,填空题,理14)函数f(x)=2ln x+x2在x=1处的切线方程是 . 解析:由f(x)=2lnx+x2,得f'(x)=+2x.
∴f'(1)=4.又f(1)=1,
∴函数f(x)=2lnx+x2在x=1处的切线方程为y-1=4(x-1).即4x-y-3=0. 答案:4x-y-3=0
■(2015江西师大附中、鹰潭一中模拟,导数的概念与几何意义,选择题,理12)已知实数a,b,c,d满足=1,其中e是自然对数的底数,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为( ) A.8 B.10 C.12 D.18
a
解析:∵实数a,b,c,d满足=1,∴b=a-2e,d=2-c.
∴点(a,b)在曲线y=x-2ex上,点(c,d)在曲线y=2-x上,(a-c)2+(b-d)2的几何意义就是曲线y=x-2ex到直线y=2-x上点的距离最小值的平方.
∵y'=1-2ex,求出y=x-2ex上和直线y=2-x平行的切线方程,∴令y'=1-2ex=-1, 解得x=0,∴切点为(0,-2),
该切点到直线y=2-x的距离d==2,就是所要求的两曲线间的最小距离. 故(a-c)2+(b-d)2的最小值为d2=8. 答案:A
■(2015沈阳四校联考模拟,导数的概念与几何意义,选择题,理9)已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线斜率为3,数列的前n项和为Sn,则S2 014的值为( ) A. B. C. D. 解析:函数的导数f'(x)=2x+b,
∵点A(1,f(1))处的切线的斜率为3, ∴f'(1)=2+b=3,解得b=1. ∴f(x)=x2+x=x(x+1), ∴,
∴S2014=+…+=1-. 答案:C
■(2015沈阳大连二模,导数的概念与几何意义,填空题,理15)设点P在曲线y=x2+1(x≥0)上,点Q在曲线y=(x≥1)上,则|PQ|的最小值为 . 答案:
专题2 导数的运算
■(2015江西师大附中、鹰潭一中模拟,导数的运算,选择题,理9)设函数y=f(x)在区间(a,b)上的导函数为f'(x),f'(x)在区间(a,b)上的导函数为f″(x),若在区间(a,b)上f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在区间(a,b)上为“凸函数“;已知f(x)=x4-x3-x2在(1,3)上为“凸函数”,则实数m的取值范围是( ) A. B. C.(-∞,-2) D.[2,+∞)
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解析:∵f(x)=x-x-x,∴f'(x)=x3-x2-3x,∴f″(x)=x2-mx-3.
∵f(x)为区间(1,3)上的“凸函数”,则有f″(x)=x2-mx-3<0在区间(1,3)上恒成立,∴ 解得m≥2.
1
答案:D
■(2015沈阳四校联考模拟,导数的运算,填空题,理16)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设f″(x)是函数y=f(x)的导数y=f'(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次函数都有对称中心,且‘拐点’就是对称中心.”请你根据这一发现,函数f(x)=x3-3x2+3x+1的对称中心为 . 解析:∵函数f(x)=x3-3x2+3x+1,
∴f'(x)=3x2-6x+3,∴f″(x)=6x-6.
令f″(x)=6x-6=0,解得x=1,且f(1)=2,故函数f(x)=x3-3x2+3x+1的对称中心为(1,2). 答案:(1,2)
3.2导数与函数的单调性、极值、最值
专题1 导数与函数的单调性
■(2015沈阳四校联考模拟,导数与函数的单调性,选择题,理11)已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f'(x),当x≠0时,f'(x)+>0,若a=,b=-2f(-2),c=,则a,b,c的大小关系正确的是( ) A.a ∴h'(x)=f(x)+x·f'(x), ∵y=f(x)是定义在实数集R上的奇函数, ∴h(x)是定义在实数集R上的偶函数, 当x>0时,h'(x)=f(x)+x·f'(x)>0, ∴此时函数h(x)单调递增. ∵a==h,b=-2f(-2)=2f(2)=h(2),c==h=h(-ln2)=h(ln2), 又2>ln2>, ∴b>c>a. 答案:A ■(2015沈阳四校联考模拟,导数与函数的单调性,解答题,理20)已知函数f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直. (1)求实数a,b的值; (2)若函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值范围. 解:(1)∵f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4), ∴a+b=4.① f'(x)=3ax2+2bx,则f'(1)=3a+2b. 由条件f'(1)·=-1, 即3a+2b=9.② 由①②式解得a=1,b=3. (2)f(x)=x3+3x2,f'(x)=3x2+6x, 令f'(x)=3x2+6x≥0得x≥0或x≤-2. ∵函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增, ∴[m,m+1]?(-∞,-2]∪[0,+∞). ∴m≥0,或m+1≤-2. ∴m≥0,或m≤-3. 专题2 导数与函数的极值 ■(2015江西上饶一模,导数与函数的极值,选择题,理7)设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0).已知五个方程的相异实根个数如下表所述: 2 方程 根的个数 f(x)-20=0 1 f(x)+10=0 1 f(x)+20=0 1 f(x)-10=0 3 f(x)=0 3 α为关于f(x)的极大值,下列选项中正确的是( ) A.0<α<10 B.10<α<20 C.-10<α<0 D.-20<α<-10 解析:方程f(x)-k=0的相异实根数可化为方程f(x)=k的相异实根数. 方程f(x)=k的相异实根数可化为函数y=f(x)与水平线y=k两图形的交点数. 依题意可得两图形的简略图有以下两种情形: (1)当a为正时, (2)当a为负时, 所以其极大值α的范围为10<α<20. 答案:B ■(2015江西新余一中高考模拟,导数与函数的极值,选择题,理11)已知函数g(x)=a-x2与h(x)=2ln x的图象上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是( ) A. B.[1,e2-2] C. D.[e2-2,+∞) 解析:由已知,得到方程a-x2=-2lnx?-a=2lnx-x2在上有解. 设f(x)=2lnx-x2,求导得f'(x)=-2x=, ∵≤x≤e,∴f'(x)=0在x=1有唯一的极值点, ∵f=-2-,f(e)=2-e2,f(x)极大值=f(1)=-1,且知f(e) ■(2015江西三县部分高中一模,导数与函数的极值,解答题,理17)已知函数f(x)=x3+ax2+bx,且f'(-1)=0. (1)试用含a的代数式表示b; (2)求f(x)的单调区间; (3)令a=-1,设函数f(x)在x1,x2(x1 解:(1)依题意,得f'(x)=x2+2ax+b. 由f'(-1)=1-2a+b=0得b=2a-1. (2)由(1)得f(x)=x3+ax2+(2a-1)x, 故f'(x)=x2+2ax+2a-1=(x+1)(x+2a-1). 令f'(x)=0,则x=-1或x=1-2a. ①当a>1时,1-2a<-1. 当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表: x (-∞,1-2a) (1-2a,-1) (-1,+∞) f'(x) + - + 3
第三章导数及其应用 (2)
