第三章 线性系统的时域分析
在经典控制理论中，常用的分析方法有：时域分析法、根轨迹法和频域分析法。时域分析法是，在给系统输入端施加典型信号时，用系统输出响应的时间函数分析系统的品质。该方法直观、准确，但很烦琐。
1、基本内容和要点 （l）典型输入信号
规定典型输入信号的意义。典型输入信号的数学表达式及图形。 （2）线性定常系统的响应
暂态响应和稳态响应，零输入响应和零状态响应，系统阶跃响应，脉冲响应的解析表达式及两者的联系，系统零、极点的分布与响应的关系，通过响应分析系统的性能。
（3）一阶、二阶系统的响应
一阶和二阶系统的组成及响应。特征参量，闭环零、极点与给定参考输入下的响应的关系，暂态响应和稳态响应的性能指标。
（4） 高阶系统的响应
高阶系统的响应是一、二阶系统响应的合成。零、极点与响应的关系。系统主导极点的概念，系统数学模型的降阶问题。用二阶系统的响应近似地分析高阶系统的性能。
（5）线性定常系统的稳定性
稳定性问题的提出。稳定性的定义、线性定常系统稳定的充分和必要条件。 （6）劳斯——赫尔维茨稳定判据
判别线性定常系统稳定性的间接方法。劳斯判据与赫尔维茨判据。 （7）稳态误差
稳态误差的定义。以单位反馈系统为例计算给定稳态误差，给定误差系数及其计算，O型、I型和11型系统，误差系数与给定稳态误差的关系。扰动稳态误差，扰动误差系数及其与系统结构、参量的关系。减小稳态误差的方法。
2、重点
（l）二阶系统的阶跃响应与脉冲响应，响应的性能指标。 （2）稳定性及劳斯——赫尔维茨判据。 （3）稳态误差。
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3-1 系统时间响应的性能指标
1． 典型输入信号(略) 2． 动态过程和稳态过程
a) 动态过程(P78)，过渡过程，瞬态过程；
b) 稳态过程，t??时，系统的运动状态，稳态响应。 3． 动态性能和稳态性能
a) 动态性能
通常以系统的单位阶跃响应来定义动态性能指标(特征量)。系统稳态值记为c(?),常常规范成1。 延迟时间td(delay) 上升时间tr(rise) *峰值时间tp(peek) *超调量?
Δ
首次满足c(td)?0.5c(?)的时间；
首次满足c(tr)?c(?)的时间(有振荡)，或tr?t0.9?t0.1(无振荡)； 到达第一个峰值的时间；
??[c(tp)?c(?)]/c(?)
满足|c(t)?c(?)|/c(?)?5%，?t?ts的最小ts。
调节时间ts(settle)
b) 稳态性能
系统响应典型输入信号，若时间趋于无穷时，系统输出量与输入量间有差值，称系统存在稳态误差。稳态误差是衡量系统控制精度的一种度量。 4． 理想系统的阶跃响应
td?0，tr?0，tp?0， ts?0，??0。
r(t) c(t) 0 t 3-2 一阶系统的时域分析
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1． 典型一阶系统
?(s)?1；典型一阶系统只有一个常数，时间常数T；
Ts?12． 一阶系统的单位阶跃响应
1111T；C(s)??(s)R(s)?，c(t)?1?e?t/T，t?0； ???sTs?1ssTs?1 ts?3T，??5%；td??Tln0.5?Tln2?0.693T；tr??Tln0.1?(?Tln0.9)?2.20T。
r(t)?1(t)，R(s)?无超调和峰值时间。图3-3。 3． 一阶系统的单位脉冲响应
r(t)??(t)，R(s)?1；C(s)?图3-4。
4． 一阶系统的单位速度响应
1?t/T1，c(t)?e；ts?3T，??5%；
TTs?111TT2r(t)?t?1(t)，R(s)?2；C(s)?2??，c(t)?t?T?Te?t/T。
sTs?1ss，说明一阶系统跟踪速 ts?3T，??5%；稳态误差 e(?)?lime(t)?lim[r(t)?c(t)]?T。
t??t??度输入信号时存在稳态误差，其数值等于T。图3-5。 5． 一阶系统的单位加速度响应
1211TT2T31r(t)?t?1(t)，R(s)?3；C(s)?3?2???t2?Tt?T2(1?e?t/T)。
2sTs?12sss当t足够大时，e(t)?r(t)?c(t)?Tt?T2(1?e?t/T)?Tt?T2，说明一阶系统不能跟踪加速度输
入信号。
6 线性定常系统的重要特性：(P83,第二段及表3-2)线性定常系统对输入信号导数的响应，等于系统对对该信号响应的导数；或者，系统对输入信号积分的响应，等于系统对该信号响应的积分。(线性常微分方程两边同时积分或微分，方程仍然成立)。
通常，只需研究系统对阶跃输入的响应。
3-3 二阶系统的时域分析
二阶系统是控制系统中的典型系统，它的时域分析在控制系统分析中有重要意义。 1 典型的二阶系统
22?na2?n?(s)?2，。。 ?(s)?G(s)?22s?2??ns??ns(s?2??n)s?a1s?a2式中 ?—阻尼系数；?n—无阻尼自振荡频率(nature)；典型二阶系统有两个参数。系统有两个极点：
s1,2????n??n?2?1
极点在S平面上的位置不同(值，见图3-9)，系统的性质不同，对输入信号的响应过程不同。 二阶系统的单位脉冲响应：
??0,c(t)??nsin(?nt)，系统响应是无阻尼(自由)振荡形式；
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0???1，c(t)??n1??2e??tsin(?dt)，
2式中 衰减系数????n，阻尼振荡频率?d??n1??，
系统响应是衰减振荡形式(欠阻尼响应)；
2??t??1，c(t)??nte，系统响应是无振荡衰减形式(临界阻尼响应)； ??1，
?nc(t)?{e?t/T1?e?t/T2}，T1?1???n??n?2?1，T2?1???n??n?2?1。
2?2?1系统响应是无振荡衰减形式(过阻尼响应)；
??0，系统的响应可对照前面三项，可知：系统的响应是发散的。
2 二阶系统的单位阶跃响应(图3-10)
2.1
0???1，欠阻尼响应：
c(t)?1?11??2e??tsin(?dt??)，式中 ??arctan1??2?或??arccos?。
系统响应是衰减振荡形式，趋于1；若??0，则c(t)?1?cos(?nt)，自由振荡。 2.2
??1，临界阻尼响应：
c(t)?1?e??nt(1??nt)
该式表明，此时系统单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程。
??1，过阻尼响应 ?12?12记T1???n??n??1，T2???n??n??1，T1?T2。
T1T2T1c(t)?1?e?t/T1?e?t/T2，当T1?T2较大时，近似为c(t)?1?e?t/T1。
T1?T2T1?T2T1?T22.3
3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析
为了使系统的性能尽可能地接近理想系统的阶跃响应，通常都使系统具有适度的超调量，以便系统有较快的响应速度，一般取??0.7；注意，有些系统，如化工生产过程中的许多过程，不允许出现超调情况。特征量或时域指标的计算依据定义及欠阻尼响应来计算，
c(t)?1?11??2e??tsin(?dt??)，式中 ??arctan1??2?或??arccos?。
3.1 计算延迟时间td
c(td)?0.5是一个超越方程，很难计算，近似计算式为
td?(1?0.7?)/?n
3.2 计算上升时间tr
c(tr)?1.0?sin(?dtr??)?0??dtr????，解得tr?(???)/?n。 3.3 ☆计算峰值时间tp
单位阶跃响应取极值等价于单位脉冲响应取值为零，即
c?(tp)?0??n1??2e??tpsin(?dtp)?0??dtp??，解得 tp????。 ?d?n1??2 15
3.4 ☆计算超调量?
?dtp??，??c(tp)?1?3.5 △计算调节时间ts
11??2e???/1??2sin??e???/1??2，即??exp(???1??2)。
采用近似计算：ts?3.5/?，??0.05；或ts?4.5/?，??0.02。
例3-1：依据方框图计算系统的闭环传递函数
2?nK ?(s)?2?22s?(1?K?)s?Ks?2??ns??n222，(1?K?)?2??n，??exp(??/1??)?0.2，??0.456；tp??/(?n1??)?1， K??n?n?3.53(rad/s)；K?12.46；??0.178s；ts?3.5/??2.17s，??0.05；
4 过阻尼二阶系统的动态过程分析(略)
根据二阶系统阶跃响应和特征量的定义近似计算。 例3-2：在无超调条件下，使响应速度最快，应取??1；
K/T1K；，K?2.5；?n?5(rad/s)；T1?T2?0.2s。 ?22Ts?s/T?K/TTts?4.75T1?0.95s，….
?(s)?5 二阶系统的单位速度响应(略)
5.1 欠阻尼单位速度响应(可由单位阶跃响应积分得)
c(t)?t?2??n?1?de??tsin(?dt?2?)，e(t)?r(t)?c(t)?2??n?1?de??tsin(?dt?2?)；
☆ess?lime(t)?t??2??n。响应有稳态误差，大小与系统参数有关。(其它计算略)
注：(3-29)推导如下，二阶系统单位速度响应的拉氏分解式是正确的，拉氏反变换为
c(t)?t?2??n?2??ncos?dt?2?2?1?dsin?dt?
c(t)?t?2??n?1?d{sin2?cos?dt?cos2?sin?dt}
5.2 临界阻尼单位速度响应(略)
c(t)?t?2?n?12212(1??nt)e??nt，e(t)??(1??nt)e??nt，ess?。 ?n2?n?n2?n25.3 过阻尼单位速度响应(略) 记 T1?1???n??n?2?1，T2?1???n??n?2?1，T1?T2。
2?2?12?T12?t/T1T22?t/T2；T1?T2?，T1?T2?。 c(t)?t?(T1?T2)?e?e?n?nT1?T2T1?T2T12T22?t/T1e(t)??e?e?t/T2。
?nT1?T2T1?T22?
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第三章 线性系统的时域分析
