《新课标》高三数学（人教版）第一轮复习单元讲座
第二讲 函数概念与表示
一．课标要求
1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；
3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；
4．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义；
5．学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
二．命题走向
函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占据相当大的比例。
从近几年来看，对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。
高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大。
预测2008年高考对本节的考察是： 1．题型是1个选择和一个填空；
2．热点是函数概念及函数的工具作用，以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成为新的热点。
三．要点精讲
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 （1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式： ①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不
为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；
②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；
③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。 （2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。
①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。
3．两个函数的相等：
函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示。
5．映射的概念
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A?B”。
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。
注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。 6．常用的函数表示法
（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。 7．分段函数
若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；
8．复合函数
若y=f(u)，u=g(x),x?(a，b)，u?(m,n)，那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，
它的取值范围是g(x)的值域。
四．典例解析
题型1：函数概念
例1．（1）设函数f(x)??(x?100)?x?3,求f(89).
?f[f(x?5)](x?100)?2?x,x?(??,1]1（2）（2001上海理，1）设函数f（x）＝?，则满足f（x）=的
4?log81,x?(1,??)x值为 。
解：（1）这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换，
f(89)?f(f(94))?f(f(f(99)))?f(f(f(f(104))))?f(f(f(101)))
=f(f(98))?f(f(f(103)))?f(f(100))?f(97)?f(f(102))?f(99) =f(f(104))?f(101)?98.
（2）当x∈（－∞，1]，值域应为［
1，＋∞］， 2当x∈（1，＋∞）时值域应为（0，＋∞）， ∴y＝
1，y∈（0，＋∞）， 41∴此时x∈（1，＋∞），
1∴log81x＝，x＝814＝3。
4点评：讨论了函数的解析式的一些常用的变换技巧（赋值、变量代换、换元等等），这都是函数学习的常用基本功。
x?1??2e,x＜2，则f(f(2))的值为变式题：（2006山东 文2）设f(x)??（ ） 2??log3(x?1)，x?2.A．0 B．1 C．2 D．3
解：选项为C。 例2．（2006安徽 文理15） （1）函数f?x?对于任意实数x满足条件f?x?2??1，若f?1???5,则f?x?f?f?5???__ ________；
（2）函数f?x?对于任意实数x满足条件f?x?2??1，若f?1???5,则f?x?f?f?5???__________。
解：（1）由f?x?2??11?f(x)， 得f?x?4??f?x?f?x?2?所以f(5)?f(1)??5，则f?f?5???f(?5)?f(?1)?11??。
f(?1?2)5（2）由f?x?2??11?f(x)，得f?x?4??所以f(5)?f(1)??5，
f?x?f?x?2?则f?f?5???f(?5)?f(?1)?11??。
f(?1?2)5点评：通过对抽象函数的限制条件，变量换元得到函数解析式，考察学生的逻辑思
维能力。
题型二：判断两个函数是否相同
例3．试判断以下各组函数是否表示同一函数？
3（1）f（x）=x2，g（x）=x3；
（2）f（x）=
x?0,?1|x|，g（x）=?
?1x?0;x?2n?1（3）f（x）=
x2n?1，g（x）=（2n?1x）2n－1（n∈N*）；
（4）f（x）=xx?1，g（x）=x2?x；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。
3解：（1）由于f（x）=x2=|x|，g（x）=x3=x，故它们的值域及对应法则都不相
同，所以它们不是同一函数；
（2）由于函数f（x）=
x?0,?1|x|的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=?x??1x?0;的定义域为R，所以它们不是同一函数；
（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数， ∴f（x）=
2n?1x2n?1=x，g（x）=（2n?1x）2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相
同，所以它们是同一函数；
（4）由于函数f（x）=xx?1的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=x2?x的定义
域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数； （5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数。
点评：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。
（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字
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母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x+1，f（t）=t+1，f（u+1）=（u+1）2
+1都可视为同一函数。（2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数。
题型三：函数定义域问题 例4．求下述函数的定义域：
2x?x2（1）f(x)??(3?2x)0；
lg(2x?1)（2）f(x)?lg(x?ka)?lg(x?a).
22?2x?x2?0?
133?2x?1?0
解：（1）??，解得函数定义域为(,1)?(1,)?(,2].
222?2x?1?1
??3?2x?0?x?ka（2）??2 ，（先对a进行分类讨论，然后对k进行分类讨论）， 2?x?a①当a=0(k?R)时，函数定义域为(0,??)；
②当a?0时，得??x?ka，
?x??a或x?a?a?01）当?时，函数定义域为(ka,??)，
k?1?2）当??a?0时，函数定义域为(a,??)，
??1?k?1
函数概念与表示考点和习题训练
