一、方法综述
多元函数的最值问题就是在多个约束条件下，某一个问题的最大和最小值．在所列的式子之中，有多个未知数．求解多元函数的最值问题技巧性强、难度大、方法多，灵活多变，多元函数的最值问题蕴含着丰富的数学思想和方法．解题办法常有：导数法、消元法、基本不等式法、换元法、数形结合法、向量法等．
二、解题策略
类型一 导数法
例1．【2024福建三明上学期期末考】若不等式数
的值为（ ）
对任意
恒成立，则实
A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C
在
上单调递减，在
上单调递增，∴对任意
恒成立，∴
，即
即
对任意，
恒成立，同理可证：
∴
，故选C．学#科网
【举一反三】【2024福建福州第一学期质量抽测】已知函数
，
恒成立，则的取值范围是（ ）
，对于任意，
A． B． C． D．
【答案】A
类型二 消元法
例2．【2024四川攀枝花期末考】已知函数
，不等式
值为（ ） A． B． C．【答案】B
【解析】当2＜x＜4时，0＜4﹣x＜2，所以f（x）＝f（4﹣x）＝|ln（4﹣x）|，由此画出函数f（x）的图象， 由题意知，f（2）＝ln2，故0＜m＜ln2，且x1＜x2＜x3＜x4，x1+x4＝x2+x3＝4， x1x2＝1，（4﹣x3）（4﹣x4）＝1，可知，设t＝x1+x2，则
，又
，由，得在
上单调递增，所以
，
，∴
，即
，
，
D．
，若方程
有四个不等实根
恒成立，则实数的最大
∴实数的最大值为，故选B．学科*网
【解题秘籍】题设条件中变量较多，但可以把x1?x2看成整体，从而把问题转化为求一元函数的最值．
[来源学科网]
【举一反三】
1．【2024合肥一模】已知函数
成立，则实数的取值范围是( )． A．【答案】A
B．
C．
D．
有两个不同的极值点
，若不等式
恒
2．【2024河北省廊坊市第八高级中学模拟】若对任意的实数x，都存在实数y与之对应，则当
e2x?y?y?x??ae2y?x?0时，实数a的取值范围为（ ）
A．???,??1?1??1??0,??, B． C． D． ??,0???????2e?3e??3e??【答案】D
【解析】由题设有a??y?x?e3x?3y，令x?y?t，则a??te,t?R，所以a'???1?3t?e,t?R，当
3t3t1?1???1??t????,??时，a'?0，a?te3t在???,??为增函数；当t???,???时，a'?0，a?te3t在
3?3???3??1?1???,?为减函数，所以，注意到当t?0时，a?0，故选D． a?max??33e??类型三 基本不等式法 例3．【2024湖北1月联考】在的最小值为（ ） A．
B．
C．
D．
中，角、、的对边分别是、、，若
，则
【答案】D
专题1.4 多元问题的最值问题-玩转压轴题,突破140分之高三数学选择题填空题高端精品(2024版)
