?
BDBQ ?BOBC5t4?4t ?2?
4532 ?t?
57解法二：作Rt△OBC斜边中线OE
BC5 则OE?BE，BE??，
22 此时△OEB∽△PQB
C P E BEOB? ? BQPB54 ?2?
4?4t5t32 ?t?
572O Q
B
解法三：在Rt△PHQ中有QH?PH?PQ C ?(8t?4)?(3t)?(4?4t) ?57t2?32t?0 ?t?22222P O 32，t?0（舍去） 57 又Q0?t?1
1432 ?当t?或或时，△PQB为等腰三角形．
3957HQ
B
解法四： 数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。 代数讨论：计算出△PQB三边长度，均用t表示，再讨论分析
Rt△PHQ中用勾股定理计算PQ长度，而PB、BQ长度都可以直接直接用t表示，进行
分组讨论即可计算。
[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t值与题目中的0?t?1矛盾，应舍去
3.如图1，已知直线y??11，B两点． x与抛物线y??x2?6交于A24，B两点的坐标； （1）求A（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；
，B两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B构成无数个三角形，线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
y y
P B B O x
O x
12?y??x?6??x1?6?x2??4?4[解] （1）解：依题意得?解之得? ?1y??3y?2?1?2?y??x??2 ?A(6，?3)，B(?4，2)
（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C，D两点，交AB于M（如图1） 由（1）可知：OA?35 OB?25 y ?AB?55
?OM?15AB?OB? 22B C Ｅ O D 图1
过B作BE⊥x轴，E为垂足
M A x
OCOM5 由△BEO∽△OCM，得：?，?OC?，
OBOE4?C?，0?，D?0，? 同理：OD?， 设CD的解析式为y?kx?b(k?0)
52?5?4????5?? 2?第26题
5?0?k?b?k?2???4 ?? ??5 5???b?b??2???2 ?AB的垂直平分线的解析式为：y?2x?5． 21x?m2（3）若存在点P使△APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线y??上，并设该直线与x轴，y轴交于G，H两点（如图2）．
1?y??x?m??2 ??
?y??1x2?6??4 ?121x?x?m?6?0 42 Q抛物线与直线只有一个交点，
1?1? ?????4?(m?6)?0，
4?2??m?25?23? ?P?1，? 4?4?2 在直线GH：y??125x?中， 24?25??25??G?，0?，H?0，?
?2??4?y H P B G 255 4 设O到GH的距离为d，
?GH?11?GHgd?gOGgOH22125512525??d??? 24224
5?d?52QAB∥GH，O A x
图2
?P到AB的距离等于O到GH的距离d．
另解：过P做PC∥y轴，PC交AB于C，当PC最大时△PBA在AB边上的高h最大（h与PC 夹角固定），则S△
PBA最大 → 问题转化为求PC最大值，设P（x, ）,C（x, ）,从而可以表示PC长度，进行极值
求取。
最后，以PC为底边，分别计算S△PBC和S△PAC即可。
[点评]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。
4.如图①，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为?010，?，，?84?，顶点C，D在第一象限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E?4，0?出发，沿x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，
P，Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）求正方形ABCD的边长．
（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P，Q两点的运动速度．
（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．
（4）若点P，Q保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；
沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小．当点P沿着这两边运动时，使∠OPQ?90的点P有 个．
o?b4ac?b2?（抛物线y?ax?bx?c?a?0?的顶点坐标是??，?．
4a??2a2
y D s 28 A P B C 20 O E Qx 图①
O 10 图②
t [解] （1）作BF?y轴于F．
QA?010，?，B?8，4?，
?FB?8，FA?6．
?AB?10．
（2）由图②可知，点P从点A运动到点B用了10秒． 又QAB?1010，?10?1．
?P，Q两点的运动速度均为每秒1个单位．
（3）方法一：作PG?y轴于G，则PG∥BF．
GAAPGAt，即??．
FAAB6103?GA?t．
53?OG?10?t．
5?QOQ?4?t，
?S?113???OQ?OG??t?4??10?t?． 225??即S??3219t?t?20． 10519b19195Q????，且0≤≤10， 2a3?3?32?????10??当t?19时，S有最大值． 3此时GP?476331t?，OG?10?t?， 51555（8分）
?7631??点P的坐标为?，?．
?155?方法二：当t?5时，OG?7，OQ?9，S?设所求函数关系式为S?at2?bt?20．
163． OGgOQ?22?63?Q抛物线过点?10，28?，?5，?，
?2??100a?10b?20?28，???63
25a?5b?20?.??23?a??，??10?? ?b?19.?5??S??3219t?t?20． 10519b19195Q????，且0≤≤10， 2a3?3?32?????10??当t?19时，S有最大值． 37631此时GP?，OG?，
155?7631??点P的坐标为?，?．
?155?（4）2．
[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。
．
oo53)，5. 如图①，Rt△ABC中，?B?90，?CAB?30．它的顶点A的坐标为(10，0)，顶点B的坐标为(5，AB?10，点P从点A出发，沿A?B?C的方向匀速运动，同时点Q从点D(0，2)出发，沿y轴正方向以相同
速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）求?BAO的度数．
（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P的运动速度．
（3）求（2）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．
二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)
