圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第11章 差错控制编码
11-1 已知码集合中有8个码组为“000000”、“001110”、“010101”、“011011”、“100011”、“101101”、“110110”、“111000”，试求它们的最小码距。
解：最小码距指各个码组之间对应位上数字不同的位数的最小值，故该8个码组中最小码距d?3。
11-2 上题给出的码集合若用于检错，试问能检出几位错码?若用于纠错，能纠正几位错码?若同时用于检错与纠错，又能有多大的检错和纠错能力?
解：设编码的检错能力为e，纠错能力为t，最小码距d与它们之间的关系为：若只用于检错，d?e?1，即可以检出e＝d－1＝2位错码；若只用于纠错，d?2t?1，即可以纠正t＝(d－1)/2＝1位错码；
若同时用于检错和纠错，d?e?t?1且e?t，该编码不能同时用于检错和纠错。
11-3 已知两个码组为“0000”和“1111”。若用于检错，试问能检出几位错码?若用于纠错，能纠正几位错码?若同时用于检错与纠错，又能检测和纠正几位错码?
解：该码的最小码距d＝4。
设编码的检错能力为e，纠错能力为t，最小码距d与它们之间的关系为：若只用于检错，d?e?1，可检出e＝d－1＝3位错码；若只用于纠错，d?2t?1，可纠正t＝(d－1)/2＝1位错码；
若同时用于检错和纠错，d?e?t?1且e?t，可在检出2位错码的同时纠正1位错码。
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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台11-4 若一个方阵码中的码元错误情况如图11-1所示，试问能否检测出来?
图11-1
解：不能检测出来。
方阵码，即二维奇偶监督码，是将每个奇偶监督码组写成一行，然后再按列的方向增加第二维监督位。只有当每行或每列中有奇数个错误时，方阵码才能检测出来。图中所示的出现错误的码组中每行和每列都恰好有偶数个错误，故检测不出来。
11-5 设有一个码长n＝15的汉明码，试问其监督位r应该等于多少?其码率等于多少?试写出监督码元和信息码元之间的关系。
解：根据汉明码的定义，2?1?15，通常希望r越小越好，这里取r?4。
r此时，信息位数k＝n－r＝11，码率k/n＝11/15。用下：
表示4个监督关系式的校正子，并设其与错码位置的对应关系如
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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台由对应关系可知，仅当一位错码的位置在a3,a8,a9,a10,a11,a12,a13,a14时，校正子
S1为1，故
同理可得
S1S2S3S4?0000时无错码，此时可得监督码元与信息码元之间的关系：
11-6 已知某线性码监督矩阵为
试列出其所有可能的码组。
解：由该线性码的监督矩阵可得：n＝7，r＝3，k＝4该监督矩阵为典型阵形式：
H??PMI?1110M100?r????1101M010?1011M011????111??1000M111?令Q?PT???110?，则生成矩阵G??IkMQ???0100M110??101???011???0010M101??0001M011??所有可能的码组可由?a6a5a4a3??G获得，所有码组列表如下：
0000000 0001011 0010101 0011110 0100110 0101101 3 / 20
0110011
0111000
圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台1000111 1001100 1010010 1011001 1100001 1101010 1110100 1111111
11-7 已知一个(7，3)码的生成矩阵为
试列出其所有许用码组，并求出其监督矩阵。
解：（1）许用码组可由?a6a5a4??G获得，所有许用码组如下：
0000000 0011101 0100111 01110101001110 1010011 1101001 1110100
（2）该生成矩阵是典型阵形式，G??IkMQ?，得
，
监督矩阵
11-8 已知一个(7，4)循环码的全部码组为
试写出该循环码的生成多项式g(x)和生成矩阵G(x)，并将G(x)化成典型阵。解：（1）现对x?1进行因式分解
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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台由于本题中n?k?7?4?3，所以可以选取x?x?1,x?x?1。又因为在给
332????定的全部码组中有0001011，故应选用与其对应的生成多项式：
（2）循环码的生成矩阵G(x)：
写成矩阵形式：
经初等行变换，化为典型阵形式：
11-9 试写出上题中循环码的监督矩阵H和其典型阵。
解：由 可得：
，
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樊昌信《通信原理》(第6版)(课后习题 差错控制编码)【圣才出品】
