第二章 随机变量及其分布
1? 一袋中装有5只球? 编号为1? 2? 3? 4? 5? 在袋中同时取3只? 以X表示取出的3只球中的最大号码? 写出X的分布律?
3 解? 从5只球中任取3只? 有C5?10种取法? 每种取法的概率为1? 随机变量X的可能值为3? 4? 5?
10 当X?3时? 相当于取出3只球的号码为? {1? 2? 3}?
21?C2 P(X?3)?3?1?
C510类似地? 有
1?C323 P(X?4)?3??
C51021?C4 P(X?5)?3?6?
C510随机变量X的分布律为
X 3 4 5 1 3 6 P 101010
2? 将一颗骰子抛掷两次? 以X1表示两次所得点数之和? 以X2表示两次中得到的小的点数? 试分别求X1? X2的分布律? 解? 用Aij表示第一次得到的点数为i? 第二次得到的点数为j? 则P(Aij)?1?
36 X1的所有可能取值为2? 3? 4? 5? 6? 7? 7? 8? 9? 10? 11? 12? 并且
P(X1?2)?P(A11)?1?
36 P(X1?3)?P(A12?A21)?P(A12)?P(A21)?2?
36 P(X1?4)?P(A13?A31?A22)?3?
36 P(X1?5)?P(A14?A23?A32?A41)?4?
36 P(X1?6)?P(A15?A24?A33?A42?A51)?5?
36 P(X1?7)?P(A16?A25?A34?A43?A52?A61)?6?
36 P(X1?8)?P(A26?A35?A44?A53?A62)?5?
36 P(X1?9)?P(A36?A45?A54?A63)?4?
36 P(X1?10)?P(A46?A55?A64)?3?
36 P(X1?11)?P(A56?A65)?2?
36 P(X1?12)?P(A66)?1?
36 X2的所有可能取值为1? 2? 3? 4? 5? 6? 并且
661?5?5?6? P(A)??P(A)? P(X2?1)?P(A11)?i?1ii1?2i?236363636661?4?4?9? P(A)??P(A)? P(X2?2)?P(A22)?i?2ii2?3i?336363636661?3?3?7? P(A)??P(A)? P(X2?3)?P(A33)?i?3ii3?4i?436363636661?2?2?5? P(A)??P(A)? P(X2?4)?P(A44)?i?4ii4?5i?536363636 P(X2?5)?P(A55)?P(A56)?P(A65)?1?1?1?3?
36363636 P(X2?6)?P(A66)?1?
36
3? 设在15只同类型零件中有2只是次品? 在其中取3次? 每次任取1只? 作不放回抽样? 以X表示取出次品的只数? (1)求X的分布律? (2)画出分布律的图形? 解? X的可能取值为0? 1? 2?
X?0表示取到的3只都是正品? 其概率为
3C13 P(X?0)?3?22?
C1535 X?1表示取到的3只中有1只次品2只正品? 其概率为
12C2?C1312? ? P(X?1)?3C1535 X?2表示取到的3只中有2只次品1只正品? 其概率为
21C2?C131? ? P(X?2)?3C1535X的分布律可表示为
X 0 1 2 P 22/35 12/35 1/35
4? 进行重复独立实验? 设每次试验成功的概率为p? 失败的概率为q ?1?p(0?p?1)?
(1)将实验进行到出现一次成功为止? 以X表示所需的试验次数? 求X的分布律(此时称X服从以p为参数的几何分布)? 解? 事件{X?k}表示前k?1次试验失败? 第k次成功? 因此X的分布律为
P(X?k)?pqk?1 (k?1, 2, ???)?
(2)将实验进行到出现r次成功为止? 以Y表示所需的试验次数? 求Y的分布律(此时称Y服从以r, p为参数的巴斯卡分布)?
解? 事件{X?k}表示前k?1次中成功r?1次? 第k次成功? 则Y的分布律为
?1r?1k?r?1rk?r P(Y?k)?Ckr?(k?r? r?1? ??? )? ?p?Ckr?1p?q1p?q (3)一篮球运动员的投篮命中率为45%? 以X表示他首次投中时累计已投篮的次数? 写出X的分布律? 并计算X取偶数的概率?
解? P(X?k)?(0.55)k?10.45(k?1? 2? ??? )?
?? P(X取偶数)??P(X?2k)??(0.55)2k?10.45?11?
31k?1k?1 5? 一房间有3扇同样大小的窗子? 其中只有一扇是打开的? 有一只鸟自开着的窗子飞入了房间? 它只能从开着的窗子飞出去? 鸟在房子里飞来飞去? 试图飞出房间? 假定鸟是没有记忆的? 鸟飞向各扇窗子是随机的?
(1)以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数? 求X的分布律? 解? X的可能取值为1? 2? 3? ???? n? ????
P(X?n)?P(前n?1次飞向了另2扇窗子? 第n次飞了出去)
?(2)n?1?1 (n?1? 2? ???)?
33 (2)户主声称? 他养的一只鸟? 是有记忆的? 它飞向任一窗子的尝试不多于一次? 以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数? 如户主所说是确实的? 试求Y的分布律? 解? Y的可能取值为1? 2? 3?
P(Y?1)?P(第1次飞了出去)?1?
3 P(Y?2)?P(第1次飞向另2扇窗子中的一扇? 第2次飞了出去)
?2?1?1?
323 P(Y?3)?P(第1? 2次飞向了另2扇窗子? 第3次飞了出去) ?2!?1?
3!3 (3)求试飞次数X小于Y的概率? 求试飞次数Y小于X的概率?
解? P(X?Y)??P(Y?k)P(X?Y|Y?k)
k?13 ??P(Y?k)P(X?Y|Y?k)??P(Y?k)P(X?k)
k?2k?233 ?1?1?1?[1?2?1]?8?
33333327同上? 有
P(X?Y)??P(Y?k)P(X?Y|Y?k)
k?13 ??P(Y?k)P(X?k)?1?1?1?2?1?4?19?
333932781k?1故 P(Y?X)?1?P(X?Y)?P(X?Y)?38?
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6? 一大楼装有5个同类型的供水设备? 调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1? 问在同一时刻? (1)恰有2个设备被使用的概率是多少？ (2)至少有3个设备被使用的概率是多少？ (3)至多有3个设备被使用的概率是多少？ (4)至少有一个设备被使用的概率是多少？
解? 设X为5个供水设备中被使用的设备数? 则X服从二项分布? X~b(5? 0.1)?
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概率论与数理统计02(1)
