第七讲
连续型随机变量（续）及 随机变量的函数的分布
3. 三种重要的连续型随机变量 （1）均匀分布
设连续型随机变量X具有概率密度
?1f(x)???b?a,a?x?b,(4.5)
??0,其它,则称X在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b).
X的分布函数为
??0,x?a,F(x)???x?aa?x?b,(4.6)
?b?a,??1,x?b.（2）指数分布
设连续型随机变量X的概率密度为
?1?x/f(x)????e?,x?0,(4.7)
??0,其它,其中?>0为常数, 则称X服从参数为?的指数分布.
容易得到X的分布函数为
???1?e?x/?F(x),x?0,.8)
?0,其它.(4如X服从指数分布, 则任给s,t>0, 有
'.
.
第二章 随机变量及其分布
§4 连续型随机变量
及其概率密度
f(x)32=1/31=1=2O123x
.
P{X>s+t | X > s}=P{X > t} 事实上
(4.9)
P{(X?s?t)?(X?s)} P{X?s?t|X?s}?P{X?s}P{X?s?t}?1?F(s?t)?(s?t)???F(s)?e?t/?P{X?s}1e?s/??e?P{X?t}.性质(4.9)称为无记忆性.
指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用. （3）正态分布
设连续型随机变量X的概率密度为
??)2f(x)?1?(x2?22??e,???x??,(4.10)其中?,?(?>0)为常数, 则称X服从参数为
?,?的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为
X~N(?,?2).
显然f(x)?0, 下面来证明
?????f(x)dx?1
令(x??)/??t, 得到
???1?(x??)22?21?t22??2??edx??????2?edx
记I???e?t2/2dt,则有I2(t2?u2)/2???????????e???dtdu,转换为极坐标,得I2??2?r220??0re?drd??2π(4.11)于是12??(x??)2?2dx?12?????e2????t22??edx?1.f(x)具有的性质:
'.
f(x)的图形:f(x)=5=5Ox
f(x)0.7980.510.3991.50.266Ox
（1）.曲线关于x=?对称. 这表明对于任意h>0有
P{?-h f(?)?12π?. x离?越远, f(x)的值越小. 这表明对于同样长度的区间, 当区间离?越远, X落在这个区间上的概率越小。在x=???处曲线有拐点。曲线以Ox轴为渐近线。 X的分布函数为 t??)2F(x)?12π??x?(2?2??edt,(4.12) 特别:当?=0, ?= 1时称X服从标准正态分布. 其概率密度和分布函数分别用?(x)和 ?(x)表示, 即有 ?(x)?1e?x2/22?,(4.13) ?(x)?1x?t2/22π???edt.(4.14)易知 ?(-x)=1-?(x) (4.15) 人们已经编制了?(x)的函数表, 可供查用(见附表2). 引理 若X~N(?,?2), 则Z?X???~N(0,1) '. . F(x)10.5Ox
讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布
