2.1.3 分层抽样
学 习 目 标 1.记住分层抽样的特点和步骤(重点) 2．会用分层抽样从总体中抽取样本．(重点、难点) 3．给定实际抽样问题会选择合适的抽样方法进行抽样．(易错易混点) 核 心 素 养 1．通过分层抽样的学习，培养数学运算素养． 2．借助多种抽样方法的选择，提升逻辑推理素养.
1．分层抽样
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法是一种分层抽样．
当总体是由差异明显的几部分组成时，往往选用分层抽样的方法． 2．分层抽样的实施步骤
第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)． 样本容量
第二步，计算抽样比．抽样比＝.
总体容量
第三步，各层抽取的个体数＝各层总的个体数×抽样比． 第四步，依各层抽取的个体数，按简单随机抽样从各层抽取样本． 第五步，综合每层抽样，组成样本． 思考：什么情况下适用分层抽样？
[提示] 当总体中个体之间差异较大时可使用分层抽样．
1．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，且男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．简单随机抽样 C．按学段分层抽样
B．按性别分层抽样 D．系统抽样
C [依据题意，了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，且男女生视力情况差异不大，故要了解该地区学生的视力情况，应按学段分层抽样．]
2．为了保证分层抽样时每个个体被等可能地抽取，必须要求( ) A．每层等可能抽取 B．每层抽取的个体数相等
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C．按每层所含个体在总体中所占的比例抽样
D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制 C [分层抽样为等比例抽样．]
3．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是( )
A．8,8 C．9,7
B．10,6 D．12,4
16111
C [抽样比＝，则一班被抽取人数为54×＝9人，二班被抽取人数为42×＝7
54＋42666人．]
4．在抽样过程中，每次抽取的个体不再放回总体的为不放回抽样，那么分层抽样、系统抽样、简单随机抽样三种抽样中，为不放回抽样的有________个．
三 [三种抽样方法均为不放回抽样．]
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
分层抽样的概念 【例1】 下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是( ) B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本
C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间 D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
B [A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C中，D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样．]
分层抽样的特点
1适用于总体由差异明显的几部分组成的情况. 2样本能更充分地反映总体的情况.
3等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等.
[跟进训练]
1．某校有在校高中生共1 600人，其中高一学生520人，高二学生500人，高三学生580人．如果想通过抽查其中的80人来调查学生的消费情况，考虑到学生的年级高低消费情况有明显差别，而同一年级内消费情况差异较小，问：应采用怎样的抽样方法？高三学生中
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应抽查多少人？
[解] 因为不同年级的学生消费情况有明显差别，所以应采用分层抽样． 因为520∶500∶580＝26∶25∶29. 所以将80分成26∶25∶29的三部分． 设三部分各抽取的个体数分别为26x,25x,29x， 由26x＋25x＋29x＝80得x＝1， 所以高三学生中应抽查29人．
[探究问题] 1．怎样确定分层抽样中各层入样的个体数？ [提示] 在实际操作时，应先计算出抽样比＝
分层抽样的设计及应用 样本容量
，获得各层入样数的百分比，再总体容量
样本容量
按抽样比确定每层需要抽取的个体数：抽样比×该层个体数目＝×该层个体数目．
总体容量
2．计算各层所抽个体的个数时，如果算出的个数值不是整数怎么办？ [提示] 可四舍五入取整，也可先将该层等可能地剔除多余个体． 3．分层抽样公平吗？
[提示] 分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数、分层无关． 如果总体的个数为N，样本容量为n，Ni为第i层的个体数，则第i层抽取的个体数niNini1Nin＝n·，每个个体被抽到的可能性是＝·n·＝. NNiNiNN【例2】 某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．
思路点拨：观察特征→确定抽样方法→求出比例 →确定各层样本数→从各层中抽样→样本
[解] ∵机构改革关系到每个人的不同利益，故采用分层抽样方法较妥． ∵∴
100
＝5， 20
107020
＝2，＝14，＝4. 555
∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人． 因副处级以上干部与工人数都较少，他们分别按1～10编号和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人进行00,01，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．这样便得到了一个容量为20的样本．
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1．(变条件)某大型工厂有管理人员1 200人，销售人员2 000人，车间工人6 000人，若要了解改革意见，从全厂人员中抽取一个容量为46的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．
46
[解] 改革关系到每个人的利益，采用分层抽样较好．抽样比：＝
1 200＋2 000＋6 0001. 200
111
∵1 200×＝6(人)，2 000×＝10(人)，6 000×＝30(人)．
200200200
∴从管理人员中抽取6人，从销售人员中抽取10人，从车间工人中抽取30人． 因为各层中个体数目均较多，可以采用系统抽样的方法获得样本． 2．(变结论)在本例中的抽样方法公平合理吗？请说明理由．
201
[解] 从100人中抽取20人，总体中每一个个体的入样可能性都是＝，即抽样比，
100511
按此比例在各层中抽取个体；副处级以上干部抽取10×＝2人，一般干部抽70×＝14人，
5511
工人抽20×＝4人，以保证每一层中每个个体的入样可能性相同，均为，故这种抽样是公
55平合理的．
分层抽样的步骤
抽样方法的选择 【例3】 ①教育局督学组到校检查工作，临时需在每班各抽调两人参加座谈；②某班 - 4 -
2024_2024学年高中数学第2章统计随机抽样分层抽样学案新人教A版必修
