函数基础知识大全
§1.2.1、函数的概念
1、 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B
中都有惟一确定的数f?x?和它对应，那么就称f:A?B为集合A到集合B的一个函数，记作：
y?f?x?,x?A.
2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全
一致，则称这两个函数相等.
3.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. §1.2.2、函数的表示法
1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 1.函数的三种表示法
（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 2.求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
（2）已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x)：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法； （5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等． 求函数解析式的常用方法： 1、换元法（ 注意新元的取值范围）
2、待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） 3、整体代换（配凑法） 4.赋值法：
3.映射的定义：
一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.
由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集.
4.映射的概念中象、原象的理解：(1) A中每一个元素都有象;(2)B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；(3)A中每一个元素的象唯一。
1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一. 2求函数定义域一般有三类问题：
（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；
（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；
（3）已知f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域或已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域： 掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域； （1）分式的分母不为0；（2）偶次方根的被开方数不小于0；（3）对数函数的真数大于0；（4）指数函数、对数函数的底数大于0且不等于1；（5）零指数、负指数幂的底数不等于0.
②① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域. 2．函数值域的求法：
①直接法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；
a?b⑥利用均值不等式 ab??2xa2?b2； ⑦几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用2函数有界性（a、sinx、cosx等）；⑨平方法；⑩ 导数法（11）分离常数法；（12）反函数法；（13）数形结合法。
3求函数值域的各种方法
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域 ①直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a?0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数y?k(k?0)的定义域为{x|x?0}，值域为{y|y?0}； x二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的定义域为R，
2当a>0时，值域为{y|y?(4ac?b)}；
4a2当a<0时，值域为{y|y?(4ac?b)}
4a②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：f(x)?ax?bx?c,x?(m,n)的形式；
③分式转化法（或改为“分离常数法”）
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如：y?x?2k(k?0)，利用平均值不等式公式来求值域； x⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域 ⑨逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常用来解，型如：y?ax?b,x?(m,n)
cx?d⑩判别式法 ⑾.导数法：
6．复合函数：若y=f(u),u=g(x),x
(a,b),u(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它
的取值范围是g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定：
①首先将原函数y?f[g(x)]分解为基本函数：内函数u?g(x)与外函数y?f(u)
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性
③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．分段函数： 在函数定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫分段函数。值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5.函数的奇偶性 1．（1）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：
f(x)?f(?x)?0，
f(x)??1 f(?x)讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，要重视这一点；
（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性
2.奇偶函数的性质：
（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 ．．．．（2）偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称； （3）f(x)为偶函数?f(x)?f(|x|)
（4）若奇函数f(x)在0处有定义，，则f(0)=0,因此，“f(x)为奇函数”是\的非充分非必要条件； （5）设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：
（6）定义在R上的任意函数f(x)均可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。
（7）在定义域内的公共部分内，两个奇函数之积（商）为偶函数；两个偶函数之积（商）为偶函数；
一奇一偶函数之积（商）为奇函数；两个奇（偶）函数之和、差为奇（偶）函数。 即奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇
（8）偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致. （9）f(x)既是奇函数又是偶函数的充要条件是f(x)=0. 3.奇、偶性的推广：
（1）函数y?f?x?与函数y?f??x?的图像关于直线x?0（y轴）对称. 推广一：函数y=f(x)对于定义域内任一x都有y=f(a+x)为偶函数;
推广二：如果函数y?f?x?对于一切x?R，都有f?a?x??f?b?x?成立，那么y?f?x?的图像关于直线x?f?a?x??f?a?x? ,则y=f(x)的图象关于x=a对称，即
a?b(a?x)?(b?x)（由“x和的一半x?确定”）对称.
22b?a（由a?x?b?x确定）对称. 2推广三：函数y?f?a?x?，y?f?b?x?的图像关于直线x?推广四：函数y?f?x?与函数y?A?f?x?的图像关于直线y?A对称（由“y和的一半
2[f(x)]?[A?f(x)]确定”）.
2 (2) 函数y?f?x?与函数y??f?x?的图像关于直线y?0（x轴）对称. y?推广一：函数y=f(x)对定义域内任一x都有f?a?x???f?a?x? ,则y=f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称，即y=f(a+x)为奇函数。
推广二：函数y=f(x)对定义域内任一x都有f?a?x??f?a?x??2b，则y=f(x)的图象关于点?a,b?成中心对称。
推广三：函数y?f?x?与函数y?m?f?n?x?的图像关于点(n,m)中心对称.
224.对于复合函数F（x）=f[g(x)]满足同奇则奇，有偶则偶。 6．函数的单调性: ⑴单调性的定义：
①f(x)在区间M上是增函数??x1,x2?M,当x1?x2时有f(x1)?f(x2)； ②f(x)在区间M上是减函数??x1,x2?M,当x1?x2时有f(x1)?f(x2)； ⑵单调性的判定：
①定义法：一般要将式子f(x1)?f(x2)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；
设x1,x2?A且x1?x2；作差f(x1)?f(x2)（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；判断正负号。 ②导数法（见导数部分）；
若f(x)在某个区间A内有导数，则f(x)?0，（x?A)?f(x)在A内为增函数；
’f’(x)?0，（x?A)?f(x)在A内为减函数。
③复合函数法；
复合函数y?f?g(x)?在公共定义域上的单调性：
①若f与g的单调性相同，则f?g(x)?为增函数；“同则增” ②若f与g的单调性相反，则f?g(x)?为减函数。“异则减” 注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。 ④图像法
注：证明单调性主要用定义法和导数法。 （3）性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：
增函数f(x)?增函数g(x)是增函数；减函数f(x)?减函数g(x)是减函数； 增函数f(x)?减函数g(x)是增函数；减函数f(x)?增函数g(x)是减函数。
???b??b??bb?b④函数y?ax?(a?0,b?0)在???,??或?,?????上单调递增；在??a,0??或??0，a?上是aax????????单调递减。
⑤复合函数y?f?g(x)?在公共定义域上的单调性： ①若f与g的单调性相同，则f?g(x)?为增函数； ②若f与g的单调性相反，则f?g(x)?为减函数。 注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。 7．函数的周期性：
(1)周期性的定义：对定义域内的任意x，若有f(x?T)?f(x) （其中T为非零常数），则称函数
f(x)为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别
说明，遇到的周期都指最小正周期。
（2）三角函数的周期：①y?sinx:T?2? ；②y?cosx:T?2? ；③y?tanx:T??； ④y?Asin(?x??),y?Acos(?x??):T?(3)与周期有关的结论：
?2? ；⑤y?tan?x:T?
|?||?|f(x?a)?f(x?a)或f(x?2a)?f(x)(a?0) ?f(x)的周期为2a
2.性质：
（1）.对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫
最小正周期。
（2）并不是任何周期函数都有最小正周期，如常数函数。
(3)若T是函数y=f(x)的周期，则nT?n?Z且n?0? 都是这个函数的周期 (4)若f?a?x??f??a?x?则T?2a 。 （5）若①f?x?T???f?x? 、②f?x?T??11 、③f?x?T???、 f?x?f?x?④f?x??f?x?T??a ，⑤f?x??f?x?T??a，⑥f?T?x??f??T?x?， ⑦f(x?2T)?f(x)(T?0)，则f?x? 的周期为2T。 （6）若T是函数y=f(x)的周期，则f??x????0?也是周期函数，且周期为
T?。
（7）若f?x?a??f?x??f?x?a?，则f?x? 的周期为6a。
（8）若f?x?关于直线x?a和直线x?b对称，则2?a?b?是它的一个周期?a?b?。
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