?b??t?(?4)?2?3,?11112?33?11??????,2ba2(2?3)2223?1故选
A.
2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30
本，那么不同的购书方案有 （ ）
A.
D.12 9种
B.
10种 C.11种
种
【答案】C.
【解析】设购买三种图书的数量分别为x,y,z,x?y?z?30则?， ?10x?15y?20z?500?y?z?30?x?y?20?2x即?，解得 依题意得，x,y,z为??3y?4z?100?2xz?10?x??自然数（非负整数），
故0?x?10,x有11种可能的取值（分别为0,1,2,L,9,10)，对于每一个x值，y和z都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C.
3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：2?1?(?1),26?3333?13, 2和26均为“和谐数”.那么，
不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和
2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 11 页
为 （ ）
A.6858 B.6860 C.9260 D.9262 【答案】B.
【
?2(12k2?1)2(12k2?1)?2016解析
】
22?(2k?1)3?(2k?1)3??(2k?1)?(2k?1)??(2k?1)?(2k?1)(2k?1)?(2k?1)?? （其中k为非负整数），由
得，k?9
?k?0,1,2,L,8,9，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为
33333333333??1?(?1)?(3?1)?(5?3)?L?(17?15)?(19?17)?19?1?6860.??故
选B.
3(B）.已知二次函数y?ax（ ）
A.0 D.?2
【答案】B.
2?bx?1(a?0)的图象的
顶点在第二象限，且过点(1,0).当a?b为整数时，ab?
B.
14
C.?34
【解析】依题意知a?0,?2ba?0,a?b?1?0, 故b?0, 且
b??a?1，
，于是?1?a?0, ??1?2a?1?1
a?b?a?(?a?1)?2a?11?b,ab?，又a?b为整数，?2a?1?0, 故a??1故选B. 24 2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 12 页
4.已知eO的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C，连接AO并延长交eO于点E,若AB?8,CD?2,则?BCE的面积为（ ）
A.12 B.15 C. 16 D.18
【解析】设OC?x,则OA?OD?x?2,
QOD?AB于C,?AC?CB?1AB?4, 22在Rt?OAC中，OC即
QOCx2?42?(x?2)2,?AC2?OA2,
x?3解得，即
OC?3
（第4题答案图） 为?ABE的中位线，?BE?2OC?6. QAE是eO的直径，
??B?90,
o11?S?BCE?CB?BE??4?6?12.22 故选A.
ABCD 5.如图，在四边形
AB?AC?5中，?BAC??BDC?90，
0,CD?1,对角线的交点为M，则
53DM?
( )
A.32 B.
22
C.
D.1 2
（第5题
2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 13 页
答案图） 【解析】过点
?CMD,?【答案】D.
A作
AH?BD于点
AM,CMH,则
?AMH～
AHAM?,QCD?1,CDCMx5?x
?AH?设
AM?x, 则
CM?5?x,?AH? AB2?AM2?x2?5,?AM 则AH?AB?BM5xx?52在Rt?ABM中，BM??5xx?52
?x,5?x显然
x?0，化简整理得
2x2?55x?10?0
解得x?故
CM?5,25,2（x?25不符合题意，舍去），
在Rt?CDM中，DM?CM2?CD2?12,故选D.
6.设实数x,y,z满足x?y?z?1, 则M?xy?2yz?3xz的最大值为 ( )
1 A. 2D.1
【答案】C. 【解析】
M?xy?(2y?3x)z?xy?(2y?3x)(1?x?y)??3x2?4xy?2y2?3x?2y22?21?1??1????2??2?y?2?x??y??x????3x?3x?2?x??
2?2??2???????B.
3 2 C. 34
2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 14 页
1?11??1?33????2?y?x???x2?x???2?y?x????x????
2?22??2?44??222 当且仅当x?,y?0时，M取等号，故Mmax?1234，故
选C.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)
1.【1(A)、2（B）】 已知?ABC的顶点A、C在反比例函数
?ACB?900AB?6,0y?3x（
x?0）的图象上，
,?ABC?30,AB?x轴，点B在点A的上方，且
则点C的坐标为 . ?3???2,2????
【答案】
.
于
【解析】如图，过点C作CD?AB点D.
在Rt?ACB中，BC?AB?cos?ABC?33 在
Rt?BCD中，
CD?BC?sinB?33,2
（第1题答案图）
93BD?BC?cosB?,?AD?AB?BD?22,设
?3??3?C??m,m??,A??n,n??????33?mn，
依题意知n?m?0,故CD?n?m,AD?，于是
2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 15 页
2016初中联赛试题及答案
