A卷
2024-2024-1《线性代数》期末试卷(A)答案及评分标准
《线性代数》期末试卷答案
（32学时必修）
专业班级 姓 名 学 号 开课系室 应用数学系 考试日期 2016年1月15日
题 号 本题满分 本题得分 阅卷人 注意事项：
一 15 二 15 三 21 四 16 五 12 六 14 七 总分 7 1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；
3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共7页。
本题满分15分
说明：试卷中的字母E表示单位矩阵；A*表示矩阵A的伴随矩阵；
R(A)表示矩阵A的秩；A?1表示可逆矩阵A的逆矩阵.
本 题得分
一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按
照前面5个题目给分）
1．5阶行列式中，项a24a31a52a13a45前面的符号为【 负 】.
1?13031210121352.设D??14，A4i(i?1,2,3,4)是D的第4行元素的代数余子式，则
A41?2A42?A43?2A44 等于【 0 】.
?102???3．设B??020?，A为4?3矩阵，且R(A)?2，则R(AB)?【 2 】.
??103???
4．若向量组?1?(1,1,0),?2?(1,3,?1),?3?(5,3,t)线性相关，则t?【 1 】.
?m??m????? 5．设A是3阶实的对称矩阵，????m?是线性方程组Ax?0的解，???1?是线
?1??1?m?????性方程组(A?E)x?0的解，则常数m?【 1 】.
6．设A和B是3阶方阵，A的3个特征值分别为?3,3,0，若E?B?AB，则行列式
|B?1?2E|?【 -8 】.
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二、选择题（共5个小题，每小题3分） 1本题满分15分 1. 设A为3阶矩阵，且|A|?，则行列式|?2A?|等于【 A 】.
本 21(A) ?2； (B) ?； (C) ?1； (D) 2.
2
题得分 ?110???
2. 矩阵?120?的逆矩阵为【 A 】．
?001???
?2?10???(A) ??110?； (B)
?001???
?210?
??110??； (C) ?001????1?1???12?00?0??110????0110； (D) ???. ??001?1???3．设A是n阶非零矩阵，满足A?A2，若A?E，则【 A 】．
(A) |A|?0； (B) |A|?1； (C) A可逆； (D) A满秩.
?300??300?????1?14. 设A??，则的第3行第1列的元素为C?ABC026,B?1?10,?????00?1???342?????【 D 】．
(A) 4； (B) 8； (C) 0； (D) ?1.
22?2x3?2ax1x2?2ax1x3?2ax2x3，a是使二次型f(x1,x2,x3)5．设f(x1,x2,x3)?2x12?2x2正定的正整数，则必有【 B 】．
(A) a=2； (B) a=1； (C) a=3； (D) 以上选项都不对.
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三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)
本题满分21分 题得分 1. 若?,?,?线性无关，??2?,2??k?，??3?线性相关，求k. 本 解：因为??2?,2??k?与??3?线性相关，所以必定存在不全为
零的数?1，?2，?3，使得
（+?（+?（=0 ?1?+2?）22?+k?）3?+3?） ----------2分 （2?1+2?2+?3）?+（k?2+3?3）?=0 整理得：?1?+由于?,?,?线性无关，因此可得
?1=02?1+2?2+?3=0 k?2+3?3=0由于?1，?2，?3不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此
100221=0，由此得k = 6. ----------7分 0k3?1??1?12?????2. 设A??0??1?10?，B??2a1?，若R(AB?B)?2，求a.
?2???130?????解：由R(AB?B)?2可知AB+B=0，
由此可得 A+EB=0
2-10又 A+E=010=2≠02-21因此 B=0
----------2分
因此可得 a=-5. ----------7分
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?200???100?????3. 设矩阵A??0a2?,B???4t0?，且A,B相似，求a与t的值．
?021??603?????解：由A,B相似可知A,B的特征值相同，
而易知B的特征值为 -1,t,3，因此A的特征值也为 -1,t,3 利用特征值的性质可得
?t?3?2?a?1??1----------5分 ?2(a?4?)?3t ? 解得a?1,t?2. ----------7分
四、（共2小题，每小题8分）
1．求向量组
?1??0??3??1??????????130?1?1???,?2???,?3???,?4???
?2??1??7??2?????????4214???????0?本题满分16分 本 题得分 的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.
?1??1解：令A???1,?2,?3,?4????2??41??30?1?, 把A进行行变换，化为行最简形， ?172?2140?03?1?0?A~?0??0030??110??C???1001??000??2?3?4? ----------6分
则?1，?2，?4是C的列向量组的一个最大无关组，且?3?3?1??2?0?4， 故?1，?2，?4是A的列向量组的一个最大无关组，且?3?3?1??2?0?4.
----------8分
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