例谈构造位似圆法在解题中的运用
引例1如图1,已知\\ABC为等腰三角形，ZBAC = 90°,AC = 2,以点C为圆心，
1为半径作圆，点P为OC上一动点，连结AP,并绕点A顺时针旋转90。得到AP,连 结CP,则AP的取值范围是 ____________________ .
图1
解析 将点P绕点A顺时针旋转90。得点P.当点P在OC±转动一周时，从集合角 度看，等同于把OC绕点A顺时针旋转90° ,由ZBAC = 90°.AC = AB = 2，于是以点3 为圆心、2为半径作OB,从而得到点P的运动轨迹?因此，问题就变成了 OB外一点C到 OB±的点的距离的取值范围，显然当P在直线AB±时，可取到最大值和最小值.经计算 易得，2A/2-1< AP<2V2 + 1.
，
引例2如图2,在等腰Rt\\ABC中，AC = BC = 2y/2，点P在以斜边AB为直径的 半圆O上，点M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点3时，点M运动的路径长是 ()
图2
(A) &兀 (B) 71
(C) 2A/2
(D)2
解析 由点M为PC的中点，可知殂=丄，并且在点P的运动过程中该值保持不变,
CP 2 从而联想位似图形的定义和性质构造半圆O的位似图形?分别取AC, BC的屮点D,E ,连结
DE,以DE为直径作半圆N,则半圆N是半圆O的以点C为位似中心、丄为位似比的
2
位似图形.根据位似图形的定义和性质可知，当点P运动时，CP与半圆N交点始终是CP的
中点，即为点M,因此，点M的运动路径就是半圆N.易求得其长度为龙，因此选择B. 从引例1可以看出，当两个动点与一定点的连线的夹角为一定值时，可以通过旋转主动 点所在图形得到从动点的运动轨迹?同样，从引例2可以看出，当两个动点与一定点在同一 条直线上（实为两个动点与一定点的连线的夹角为0。），且它们到定点的距离之比为一定值 时，可以通过构造主动点所在图形的位似图形得到从动点的运动轨迹?很多题目中的主动点、 从动点同时
具备上述两个条件，那么，我们就可以同时运用位似变换和旋转变换进行求解. 现展示儿例，以供读者分享借鉴.
例1如图3,在平面直角坐标系中，已知坐标原点O是正MBC的AB边的中点，且 点A是
OM上的一个动点，点M的坐标为（3,3） 一周时，求点C的运动路径长
的半径为2,当点A在OM上运动
解析 点A为主动点，点C为从动点，连结OC,易得ZAOC = 90°且 鬻皿GC\?点。是定点，则点A点C与定点。的距离之比为6连线夹角
为90 ° ?可先以点O为位似中心、巧为位似比构造位似ON ,如图4,则ON的半径为
2JL延长OA交OW于点0由位似图形的定义和性质可知，OD = *OA = OC ,从而可 将点C看
作是由点D绕点O逆时针旋转90°而得.从集合观点看，点C的运动轨迹为ON 绕点O逆时针旋转90°而得，记为0P,如图5 .因此，当点A在上旋转一周时，由 位似性质可知点￡＞在O7V上也旋转一周，由旋转变换可知，点C在OP±旋转一周，且。 P的半径为2翻.因此，点C的运动路径长为OP的周长，即4屁.
例2如图6,的半径为4 , Rt\\ABC的顶点在OO上，ZB = 90° ,且
tanA = -,当点A在（DO上运动时，求OC的最小值. 4
解析 显然，点A为主动点，点C为从动点，由圆的旋转不变性，可将点B看作是定
3
点?易知，点C.点A与定点3的距离之比为一、连线夹角为90° ,可先以点B为位似中
4
3 3
心、一为位似比构造位似OD,如图7,则BD = -BO = 3.设AB与OD的交点为G,由
4 4
3 3 3
位似图形的定义和性质可知，BG = — BA,根据tanA =—得，BG = -BA ,所以
4 4 4
BC = BG ,从而可将点C看作是由点G绕点B逆时针旋转90度而得.从集合观点看，点C 的运动轨迹为OD绕点B逆时针旋转90°而得，记为OE,如图8.因此，当点A在OO± 旋转一周时，由位似性质可知点G在OD上也旋转一周，由旋转变换可知，点C在OE上
旋转一周.连结OE,BE,则AOBE为直角三角形，易知，OE = 5,当点C在线段0E上时,
oca最小值,
A
例3如图9, AB是。0的直径，点C在的延长线上，AB = BC = 10,点P是 OO± 一动点，连结
PC ,以PC为斜边在PC的上方作Rt\\PCD ,使ZPDC = 90° ,
tan ZDPC =-,连结0￡>,则线段长的最小值是 ______________________ .
4
解析 点P为主动点，点D为从动点.在Rt\\PCD中，rtl tanZDPC =-,可得
4
CD 3 3
cos ZDCP = —= 卩ZDCP是一个大小固定的角.以点C为位似中心、-为位似比构 CP 5 5 造位似QM ,如图10,则其半径为3.设CP与OM的交点为E,由位似图形的定义和性 CE 3 质，可知—因此CE = CQ,从而点D可看作是把点E绕点C顺时针方向旋转 CP 5
ZDCP的大小得到.从集合观点看，点D的运动轨迹就是把G) M绕点A顺时针方向旋转 ZDCP的大小得到，设为ON ,由旋转不变性可知，ON的半径为3.此时，问题变成了 ON外一定点O到ON上一动点之间距离的最小值，连结ON,交ON于点F,则OF的
最小值?连结CN ,则CN = CM =9,CO = \\5 ,则 ——?又
CN 3 CD 长即为所求
CO 5 CP
ZNCO = ZDCP,所以MCO : \\DCP，得乙ONC = 90° .利用勾股定理，算得ON = 12 , 则 OF = ON — NF = 9,因此填 9.
C
图形的动态变化类问题是中考复习需要重点突破的专题.我们知道，一种方法解几道题 远比几种方法解一道题來得高明，文中所介绍的方法在双动点问题中具有广泛的应用?只要 两个动点满足到一定点的距离之比为一定值，且在运动过程中这两点与定点的连线的夹角保 持不变即可，条件的识别也很容易.文屮所举的3个例子看似很难，然而构造位似圆的方法 不但非常巧妙地把它们解决了，而且也揭示了问题的本质.可见，我们教师在平时的解题教 学中，要把问题的本质揭示出来，这样才能大大提高学生的学习效率.
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