1.5.3 定积分的概念
[课时作业] [A组 基础巩固]
1.下列结论中成立的个数是( )
i31
①?xdx=? 3·;
nn?i=1
n130
i-
②?xdx=lim 3?n→∞n?i=1
130
n3
1
·;
ni31
③?xdx=lim? n3·n. n→∞
?i=1
n130
A.0 C.2
B.1 D.3
解析:由定积分的定义,知②③正确,①错误. 答案:C
2.如图所示,?bf(x)dx=( )
?aA.S1+S2+S3 B.S1-S2+S3 C.-S1+S2-S3 D.-S1-S2+S3 b解析:由定积分的几何意义知当f(x)≥0时,?bf (x)dx表示面积S,当f(x)≤0时,?
?a?af(x)dx=-S. 答案:C 1?i?2*2
3.已知a=? ??,n∈N,b=?1xdx,则a,b的大小关系是( )
ni=1n?n??0
A.a>b C.a
nB.a=b D.不确定
1?i?2
解析:根据定积分的概念知,a=? ??表示图1中n个小矩形组成的阴影部分的面
i=1
n?n?
积,b=?1xdx表示由曲线y=x和直线x=0,x=1,y=0围成的图2阴影部分的面积,故
22
?0
a>b,选A.
答案:A
??x,x≥0,
4.设f(x)=?x?2,x<0,?
2
则?1f(x)dx的值是( )
?-1
A. ?0xdx
2
?-1
B. ?02dx
x?-1?-1
C.?0 xdx+?12dx
2
?-1?0
D. ?02dx+?1xdx
x2
?0
解析:因为f(x)在不同区间上的解析式不同,所以积分区间应该与对应的解析式一致.利用定积分的性质可得正确答案为D.
答案:D
5.下列命题不正确的是( )
A.若f(x)是连续的奇函数,则?af(x) dx=0 ?-a?-a
B.若f(x)是连续的偶函数,则?af(x)dx=2?af(x)dx
?0
C.若f(x)在[a,b]上连续且恒正,则?bf(x)dx>0
?aD.若f(x)在[a,b)上连续且?bf(x)dx>0,则f(x)在[a,b)上恒正
?a解析:本题考查定积分的几何意义,对A:因为f(x)是奇函数,所以图象关于原点对称,所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等,故积分是0,所以A正确.对B:因为f(x)是偶函数,所以图象关于y轴对称,故图象都在x轴下方或上方且面积相等,故B正确.C显然正确.D选项中f(x)也可以小于0,但必须有大于0的部分,且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大.
答案:D
1
6.若?1f(x)dx=1,?03f(x)dx=2,则?1f(x)dx=________.
?2??
0
-1
-1
1
解析:∵?1f(x)dx=1,∴?1f(x) dx=2,
?2?
0
0
2
∵?03f(x)dx=2,∴?0f(x)dx=,
3??
-1
-1
2
28
∴?1f(x)dx=?0f(x)dx+?1f(x)dx=+2=.
33???
-1
-1
0
8
答案: 3
1
7.曲线y=与直线y=x,x=2所围成的图形面积用定积分可表示为________.
x1?1?解析:如图所示,阴影部分的面积可表示为?2xdx-?2dx=?2?x-?dx.
?1
?1x?1?
x?
?1?答案:?2?x-?dx
?1?
x?
8.?b?aa-xa-xx-bdx=________.
x-bdx表示由曲线y=a-xx-b和直线x=a,x=b解析:?b?a及x轴围成图形的面积.由y=所以y=a-x?a+b?2=?b-a?2(y≥0),
x-b,得y2+?x-????
2?
?2?
a-xx-b表示以?
?a+b,0?为圆心,以b-a为半径的上半圆. ?2?2?
故?b?a2
a-xx-bdx表示如图所示的半圆的面积,S半圆
=π(
b-a12
)×=22
πb-a8所以?
b,
?aa-xb-a8
2
π
x-bdx=
b-a8
2
.
π答案:
9.用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算).
3
解析:(1)?π
π
sin xdx. ?3
(2)?2-4dx.
2?
11
(3)-?9(-x)dx=?9xdx.
2??2
4
4
x2
10.利用定积分的几何意义求?2f(x)dx+
?-2
??2??2??2x-1,x≥0,sin xcos xdx,其中f(x)=?
?3x-1,x<0.?
?2?ππ
解析:?f(x)dx+∫-sin xcos xdx=?0(3x-1)dx+?2(2x-1)dx+
22???
2-2
-2
0
??2sin
xcos xdx.
∵y=sin xcos x为奇函数,∴??2??2sin xcos xdx=0.
利用定积分的几何意义,如图,
7+1
∴?0 (3x-1)dx=-×2=-8,
2?
-2
1311
(2x-1)dx=×3×-×1×=2. ?2222?
20
∴?f(x)dx+
2
?-2
??2??2sin xcos xdx=2-8+0=-6.
[B组 能力提升]
4
1.已知定积分?6f(x)dx=8,且f(x)为偶函数,
?0
则?6f(x)dx等于( )
?-6
A.0 C.12
解析:∵被积函数f(x)为偶函数,
B.16 D.8
∴在y轴两侧的函数图象对称,从而对应的曲边梯形面积相等. ∴?6f(x)dx=2?6f(x)dx=2×8=16.
?-6?0
答案:B
12x2.若S1=?2xdx,S2=?2dx,S3=?2edx,则S1,S2,S3的大小关系为( )
?1
?1x?1
A.S1 B.S2 解析:本题考查定积分几何意义的应用问题.明确定积分中各被积函数在积分区间上所表示的图形是解题的关键.如图所示,可得S2 答案:B 3.?11-x- 2 ?0 dx=________. 解析:函数y=1-x- 2 的图象是圆心为(1,0),半径为1的圆的上半部分.由定 1π 积分的几何意义知道,所求定积分为圆面积的,即是. 44 π 答案: 4 4.若?b[f(x)-g(x)]dx=2,?b[f(x)+g(x)]dx=3,则?bf(x)dx=________. ?a?a?a解析:由已知得?bf(x)dx-?bg(x)dx=2,?bf(x)dx+?bg(x)dx=3,两式联立可得?b?a?a?a?a?af(x)dx=. 5答案: 2 5 5 2
2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.3 定积分的概念
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