1.5.3 定积分的概念
[课时作业] [A组 基础巩固]
1．下列结论中成立的个数是( )
i31
①?xdx＝? 3·；
nn?i＝1
n130
i－
②?xdx＝lim 3?n→∞n?i＝1
130
n3
1
·；
ni31
③?xdx＝lim? n3·n. n→∞
?i＝1
n130
A．0 C．2
B．1 D．3
解析：由定积分的定义，知②③正确，①错误． 答案：C
2.如图所示，?bf(x)dx＝( )
?aA．S1＋S2＋S3 B．S1－S2＋S3 C．－S1＋S2－S3 D．－S1－S2＋S3 b解析：由定积分的几何意义知当f(x)≥0时，?bf (x)dx表示面积S，当f(x)≤0时，?
?a?af(x)dx＝－S. 答案：C 1?i?2*2
3．已知a＝? ??，n∈N，b＝?1xdx，则a，b的大小关系是( )
ni＝1n?n??0
A．a>b C．a
nB．a＝b D．不确定
1?i?2
解析：根据定积分的概念知，a＝? ??表示图1中n个小矩形组成的阴影部分的面
i＝1
n?n?
积，b＝?1xdx表示由曲线y＝x和直线x＝0，x＝1，y＝0围成的图2阴影部分的面积，故
22
?0
a>b，选A.
答案：A
??x，x≥0，
4．设f(x)＝?x?2，x<0，?
2
则?1f(x)dx的值是( )
?－1
A. ?0xdx
2
?－1
B. ?02dx
x?－1?－1
C.?0 xdx＋?12dx
2
?－1?0
D. ?02dx＋?1xdx
x2
?0
解析：因为f(x)在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与对应的解析式一致．利用定积分的性质可得正确答案为D.
答案：D
5．下列命题不正确的是( )
A．若f(x)是连续的奇函数，则?af(x) dx＝0 ?－a?－a
B．若f(x)是连续的偶函数，则?af(x)dx＝2?af(x)dx
?0
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则?bf(x)dx>0
?aD．若f(x)在[a，b)上连续且?bf(x)dx>0，则f(x)在[a，b)上恒正
?a解析：本题考查定积分的几何意义，对A：因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确．对B：因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方或上方且面积相等，故B正确．C显然正确．D选项中f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大．
答案：D
1
6．若?1f(x)dx＝1，?03f(x)dx＝2，则?1f(x)dx＝________.
?2??
0
－1
－1
1
解析：∵?1f(x)dx＝1，∴?1f(x) dx＝2，
?2?
0
0
2
∵?03f(x)dx＝2，∴?0f(x)dx＝，
3??
－1
－1
2
28
∴?1f(x)dx＝?0f(x)dx＋?1f(x)dx＝＋2＝.
33???
－1
－1
0
8
答案： 3
1
7．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．
x1?1?解析：如图所示，阴影部分的面积可表示为?2xdx－?2dx＝?2?x－?dx.
?1
?1x?1?
x?
?1?答案：?2?x－?dx
?1?
x?
8.?b?aa－xa－xx－bdx＝________.
x－bdx表示由曲线y＝a－xx－b和直线x＝a，x＝b解析：?b?a及x轴围成图形的面积．由y＝所以y＝a－x?a＋b?2＝?b－a?2(y≥0)，
x－b，得y2＋?x－????
2?
?2?
a－xx－b表示以?
?a＋b，0?为圆心，以b－a为半径的上半圆． ?2?2?
故?b?a2
a－xx－bdx表示如图所示的半圆的面积，S半圆
＝π(
b－a12
)×＝22
πb－a8所以?
b，
?aa－xb－a8
2
π
x－bdx＝
b－a8
2
.
π答案：
9．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．
3
解析：(1)?π
π
sin xdx. ?3
(2)?2－4dx.
2?
11
(3)－?9(－x)dx＝?9xdx.
2??2
4
4
x2
10．利用定积分的几何意义求?2f(x)dx＋
?－2
??2??2??2x－1，x≥0，sin xcos xdx，其中f(x)＝?
?3x－1，x<0.?
?2?ππ
解析：?f(x)dx＋∫－sin xcos xdx＝?0(3x－1)dx＋?2(2x－1)dx＋
22???
2－2
－2
0
??2sin
xcos xdx.
∵y＝sin xcos x为奇函数，∴??2??2sin xcos xdx＝0.
利用定积分的几何意义，如图，
7＋1
∴?0 (3x－1)dx＝－×2＝－8，
2?
－2
1311
(2x－1)dx＝×3×－×1×＝2. ?2222?
20
∴?f(x)dx＋
2
?－2
??2??2sin xcos xdx＝2－8＋0＝－6.
[B组 能力提升]
4
1．已知定积分?6f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，
?0
则?6f(x)dx等于( )
?－6
A．0 C．12
解析：∵被积函数f(x)为偶函数，
B．16 D．8
∴在y轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等． ∴?6f(x)dx＝2?6f(x)dx＝2×8＝16.
?－6?0
答案：B
12x2．若S1＝?2xdx，S2＝?2dx，S3＝?2edx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
?1
?1x?1
A．S1 B．S2 解析：本题考查定积分几何意义的应用问题．明确定积分中各被积函数在积分区间上所表示的图形是解题的关键．如图所示，可得S2 答案：B 3.?11－x－ 2 ?0 dx＝________. 解析：函数y＝1－x－ 2 的图象是圆心为(1,0)，半径为1的圆的上半部分．由定 1π 积分的几何意义知道，所求定积分为圆面积的，即是. 44 π 答案： 4 4．若?b[f(x)－g(x)]dx＝2，?b[f(x)＋g(x)]dx＝3，则?bf(x)dx＝________. ?a?a?a解析：由已知得?bf(x)dx－?bg(x)dx＝2，?bf(x)dx＋?bg(x)dx＝3，两式联立可得?b?a?a?a?a?af(x)dx＝. 5答案： 2 5 5 2
2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.3 定积分的概念
