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2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.3 定积分的概念

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1.5.3 定积分的概念

[课时作业] [A组 基础巩固]

1.下列结论中成立的个数是( )

i31

①?xdx=? 3·;

nn?i=1

n130

i-

②?xdx=lim 3?n→∞n?i=1

130

n3

1

·;

ni31

③?xdx=lim? n3·n. n→∞

?i=1

n130

A.0 C.2

B.1 D.3

解析:由定积分的定义,知②③正确,①错误. 答案:C

2.如图所示,?bf(x)dx=( )

?aA.S1+S2+S3 B.S1-S2+S3 C.-S1+S2-S3 D.-S1-S2+S3 b解析:由定积分的几何意义知当f(x)≥0时,?bf (x)dx表示面积S,当f(x)≤0时,?

?a?af(x)dx=-S. 答案:C 1?i?2*2

3.已知a=? ??,n∈N,b=?1xdx,则a,b的大小关系是( )

ni=1n?n??0

A.a>b C.a

nB.a=b D.不确定

1?i?2

解析:根据定积分的概念知,a=? ??表示图1中n个小矩形组成的阴影部分的面

i=1

n?n?

积,b=?1xdx表示由曲线y=x和直线x=0,x=1,y=0围成的图2阴影部分的面积,故

22

?0

a>b,选A.

答案:A

??x,x≥0,

4.设f(x)=?x?2,x<0,?

2

则?1f(x)dx的值是( )

?-1

A. ?0xdx

2

?-1

B. ?02dx

x?-1?-1

C.?0 xdx+?12dx

2

?-1?0

D. ?02dx+?1xdx

x2

?0

解析:因为f(x)在不同区间上的解析式不同,所以积分区间应该与对应的解析式一致.利用定积分的性质可得正确答案为D.

答案:D

5.下列命题不正确的是( )

A.若f(x)是连续的奇函数,则?af(x) dx=0 ?-a?-a

B.若f(x)是连续的偶函数,则?af(x)dx=2?af(x)dx

?0

C.若f(x)在[a,b]上连续且恒正,则?bf(x)dx>0

?aD.若f(x)在[a,b)上连续且?bf(x)dx>0,则f(x)在[a,b)上恒正

?a解析:本题考查定积分的几何意义,对A:因为f(x)是奇函数,所以图象关于原点对称,所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等,故积分是0,所以A正确.对B:因为f(x)是偶函数,所以图象关于y轴对称,故图象都在x轴下方或上方且面积相等,故B正确.C显然正确.D选项中f(x)也可以小于0,但必须有大于0的部分,且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大.

答案:D

1

6.若?1f(x)dx=1,?03f(x)dx=2,则?1f(x)dx=________.

?2??

0

-1

-1

1

解析:∵?1f(x)dx=1,∴?1f(x) dx=2,

?2?

0

0

2

∵?03f(x)dx=2,∴?0f(x)dx=,

3??

-1

-1

2

28

∴?1f(x)dx=?0f(x)dx+?1f(x)dx=+2=.

33???

-1

-1

0

8

答案: 3

1

7.曲线y=与直线y=x,x=2所围成的图形面积用定积分可表示为________.

x1?1?解析:如图所示,阴影部分的面积可表示为?2xdx-?2dx=?2?x-?dx.

?1

?1x?1?

x?

?1?答案:?2?x-?dx

?1?

x?

8.?b?aa-xa-xx-bdx=________.

x-bdx表示由曲线y=a-xx-b和直线x=a,x=b解析:?b?a及x轴围成图形的面积.由y=所以y=a-x?a+b?2=?b-a?2(y≥0),

x-b,得y2+?x-????

2?

?2?

a-xx-b表示以?

?a+b,0?为圆心,以b-a为半径的上半圆. ?2?2?

故?b?a2

a-xx-bdx表示如图所示的半圆的面积,S半圆

=π(

b-a12

)×=22

πb-a8所以?

b,

?aa-xb-a8

2

π

x-bdx=

b-a8

2

.

π答案:

9.用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算).

3

解析:(1)?π

π

sin xdx. ?3

(2)?2-4dx.

2?

11

(3)-?9(-x)dx=?9xdx.

2??2

4

4

x2

10.利用定积分的几何意义求?2f(x)dx+

?-2

??2??2??2x-1,x≥0,sin xcos xdx,其中f(x)=?

?3x-1,x<0.?

?2?ππ

解析:?f(x)dx+∫-sin xcos xdx=?0(3x-1)dx+?2(2x-1)dx+

22???

2-2

-2

0

??2sin

xcos xdx.

∵y=sin xcos x为奇函数,∴??2??2sin xcos xdx=0.

利用定积分的几何意义,如图,

7+1

∴?0 (3x-1)dx=-×2=-8,

2?

-2

1311

(2x-1)dx=×3×-×1×=2. ?2222?

20

∴?f(x)dx+

2

?-2

??2??2sin xcos xdx=2-8+0=-6.

[B组 能力提升]

4

1.已知定积分?6f(x)dx=8,且f(x)为偶函数,

?0

则?6f(x)dx等于( )

?-6

A.0 C.12

解析:∵被积函数f(x)为偶函数,

B.16 D.8

∴在y轴两侧的函数图象对称,从而对应的曲边梯形面积相等. ∴?6f(x)dx=2?6f(x)dx=2×8=16.

?-6?0

答案:B

12x2.若S1=?2xdx,S2=?2dx,S3=?2edx,则S1,S2,S3的大小关系为( )

?1

?1x?1

A.S1

B.S2

解析:本题考查定积分几何意义的应用问题.明确定积分中各被积函数在积分区间上所表示的图形是解题的关键.如图所示,可得S2

答案:B 3.?11-x-

2

?0

dx=________.

解析:函数y=1-x-

2

的图象是圆心为(1,0),半径为1的圆的上半部分.由定

积分的几何意义知道,所求定积分为圆面积的,即是.

44

π

答案:

4

4.若?b[f(x)-g(x)]dx=2,?b[f(x)+g(x)]dx=3,则?bf(x)dx=________.

?a?a?a解析:由已知得?bf(x)dx-?bg(x)dx=2,?bf(x)dx+?bg(x)dx=3,两式联立可得?b?a?a?a?a?af(x)dx=. 5答案: 2

5

5

2

2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.3 定积分的概念

1.5.3定积分的概念[课时作业][A组基础巩固]1.下列结论中成立的个数是()i31①?xdx=?3·;nn?i=1n130i-②?xdx=lim3?n→∞n?i=1130n31·;<
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