9(高中竞赛讲座)三角恒等式与三角不等式

由天下分享时间：2025/1/29 5:16:03 加入收藏我要投稿点赞

高中数学竞赛讲座9

９三角恒等式与三角不等式

三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则，又有三角所特有的规律.

?三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。证明三角恒等式时,首先要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度,以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系,抓住其主要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形,从而逐步消除差异,统一形式,完成证明．“和差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧。当然有时也可以利用万能公式“弦化切割”,将题目转化为一个关于t?tanx的代数恒等式的证明问题. 2?要快捷地完成三角恒等式的证明,必须选择恰当的三角公式．为此,同学们要熟练掌握各公式及各公式的来龙去脉和变形形式. ??? T??? T??? T2?

相除相除相除

S???S??? S2???? CCC2???????

相加减万S? 能积化和差 2 公C? 2式 S3? T?C3?2 和差化积上图为三角公式脉络图,由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础．此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法. 三角不等式首先是不等式,因此，要掌握证明不等式的常用方法:配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、数学归纳法等. 其次,三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器.

?三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题，要充分利用好三角形内角和等于18０°这一结论及其变形形式．如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正弦定理、余

弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式

S?p(p?a)(p?b)(p?c)[其中p?1(a?b?c)]，大家往往不甚熟悉,但十分有用. 2例题讲解

1．已知sin??Asin(???),|A|?1,求证:tan(???)?sin?.

cos??A2.证明:cos7x?7cos5x?21ocs3x?35cosx?64cos7x.

3．求证：3tan18??tan18?tan12??3tan12??1.

４.已知1?tan??2001,求证:sec2??tan2??2001.

1?tan?

５．证明:4sin?sin(60???)sin(60???)?sin3?.

6．求证：①cos6?cos42?cos66?cos78??1 16 ②sin1°ｓin２°ｓiｎ３°…ｓin8９°=()1445?610.

７．证明:对任一自然数ｎ及任意实数x??

8.证明:sin??sin(???)?sin(??2?)???sin(??n?)?m?(k?0,1,2,?,n,m为任一整数)，有 k2111?????cotx?cot2nx. nsin2xsin4xsin2xsin(??nn?1?)sin?22. sin?2