第一讲 有 理 数
一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算：
1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆
法等）。 三、例题示范 1、数轴与大小
例1、 已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，
那么满足条件的点B与原点O的距离之和等于多少？满足条件的点B有多少个？
199797199898例2、 将?,?,?,?这四个数按由小到大的顺序，用“?”连结起来。
199898199999提示1：四个数都加上1不改变大小顺序； 提示2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示3：考虑其倒数的大小顺序。
例3、 观察图中的数轴，用字母a、b、c依次表示点A、B、C对应的数。试确定三个
111数,,的大小关系。 abb?ac
分析：由点B在A右边，知b-a?0，而A、B都在原点左边，故ab?0,又c?1?0,故要比111较,,的大小关系，只要比较分母的大小关系。 abb?ac例4、 在有理数a与b(b?a)之间找出无数个有理数。
b?a提示：P=a?（n为大于是 的自然数）
n注：P的表示方法不是唯一的。 2、符号和括号
在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。
例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非
负数是多少？
提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0
注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧
例6、 计算 ?1?2?3?…?2000?2001?2002
提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)?项数?2。 例7、 计算 1+2?3?4+5+6?7?8+9+…?2000+2001+2002
提示：仿例5，造零。结论：2003。 例8、 计算 99?9?99?9?199?9 ?????????n个9n个9n个9提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n+99…9，99…9=10n ?1。 例9、 计算
111111111111(1?????)?(????)?(1?????)?(????) 232001232002232002232001111111提示：字母代数，整体化：令A?1?????，则 ,B?????232001232001例10、计算
111111（1）；（2） ????????1?22?399?1001?32?498?100提示：裂项相消。 常用裂项关系式： （1）
111m?n11??； ??； （2）
n(n?1)nn?1mnmn11111111?(?)； （4）?[?]。
n(n?m)mnn?mn(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)（3）
111 （n为自然数） ????1?21?2?31?2?3???n例12、计算 1+2+22+23+…+22000 提示：1、裂项相消：2n=2n+1?2n；2、错项相减：令S=1+2+22+23+…+22000，则S=2S?S=22001?1。
12342000例13、比较S???????2000 与2的大小。
2481621提示：错项相减：计算S。
2
例11 计算 1?
第二讲 绝 对 值
一、知识要点
1、绝对值的代数意义；
2、绝对值的几何意义： （1）|a|、（2）|a-b|； 3、绝对值的性质：
（1）|-a|=|a|, |a|?0 , |a|?a； （2）|a|2=|a2|=a2； （3）|ab|=|a||b|； （4）|4、绝对值方程：
a|a||?（b?0）； b|b|（1） 最简单的绝对值方程|x|=a的解：
??aa?0? x??0a?0
?无解a?0?（2）解题方法：换元法，分类讨论法。 二、绝对值问题解题关键：
（1）去掉绝对值符号； （2）运用性质； （3）分类讨论。 三、例题示范
例1 已知a?0，化简|2a-|a||。
提示：多重绝对值符号的处理，从内向外逐步化简。
例2 已知|a|=5，|b|=3，且|a-b|=b-a，则a+b= ，满足条件的a有几个？
例3 已知a、b、c在数轴上表示的数如图，化简：|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-b|+|b|+|-2a|。
b?cc?aa?b??的值。 |a||b||c|例4 已知a、b、c是有理数，且a+b+c=0，abc?0，求注：对于轮换对称式，可通过假设使问题简化。
例5 已知：
例6 已知x???3，化简：m=|x+1|-|x+2|+|x+3|-|x+4|。
例7 已知|x+5|+|x-2|=7，求x的取值范围。 提示：1、根轴法；2、几何法。
例8 是否存在数x,使|x+3|-|x-2|?7。 提示：1、根轴法；2、几何法。
例9 m为有理数，求|m-2|+|m-4|+|m-6|+|m-8|的最小值。 提示：结合几何图形，就m所处的四种位置讨论。 结论：最小值为8。
例10（北京市1989年高一数学竞赛题）设x是实数，
且f（x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则f（x）的最小值等于___6_______.
例11 （1986年扬州初一竞赛题）设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0＜p＜15.对于满足p≤x≤15的x的来说，T的最小值是多少？
解 由已知条件可得：T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x.
∵当p≤x≤15时，上式中在x取最大值时T最小；当x=15时，T=30-15=15，故T的最小值是15.
例12 若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间.
证 设两数为a、b，则|a|+|b|=|a||b|. ∴|b|=|a||b|-|a|=|a|（|b|-1）.
b∵ab≠0，∴|a|＞0，|b|＞0. ∴|b|-1=||＞0，∴|b|＞1.
a同理可证|a|＞1. ∴a、b都不在-1与1之间.
例13 某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15、7、11、3、14台，现在为使各校电脑数相等，各调几台给邻校：一小给二小、二小给三小、三小给四小、四小给五小、五小给一小。若甲小给乙小?3台，即为乙小给甲小三台，要使电脑移动的总台数最少，应怎样安排？
例14 解方程
1（1）|3x-1|=8 （2） ||x-2|-1|=
2（3）|3x-2|=x+4 （4）|x-1|+|x-2|+|x+3|=6.
例15（1973年加拿大中学生竞赛题）求满足|x+3|-|x-1|=x+1的一切实数解.
分析 解绝对值方程的关键是去绝对值符号，令x+3=0,x-1=0，分别得x=-3,x=1,-3,1将全部实数分成3段：x＜-3或-3≤x＜1或x≥1，然后在每一段上去绝对值符号解方程，例如，当x＜-3时，|x+3|=-x-3,|x-1|=1-x,故方程化为-x-3+x-1=x+1，∴x=-5，x=-5满足x＜-3，故是原方程的一个解，求出每一段上的解，将它们合并，便得到原方程的全部解，这种方法叫做“零点”分段法，x=-3，x=1叫做零点.
第三讲 一次方程（组）
一、基础知识
1、方程的定义：含有未知数的等式。
2、一元一次方程：含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的整式方程。 3、方程的解（根）：使方程左右两边的值相等的未知数的值。 4、字母系数的一元一次方程：ax=b。
b?当a?0时，有唯一解x?;?a?其解的情况：?当a?b?0时，解这任意数；
?当a?0,b?0时，无解。??5、一次方程组：由两个或两个以上的一次方程联立在一起的联产方程。常见的是二元
一次方程组，三元一次方程组。
6、方程式组的解：适合方程组中每一个方程的未知数的值。 7、解方程组的基本思想：消元（加减消元法、代入消元法）。 二、例题示范
111x?2例1、 解方程{[(?4)?6]?8}?1
97532kx?ax?bk例2、 关于x的方程中，a,b为定值，无论k为何值时，方程的解总?2?36是1，求a、b的值。
提示：用赋值法，对k赋以某一值后求之。
例3、（第36届美国中学数学竞赛题）设a，a＇b，b＇是实数，且a和a＇不为零，如果
/
方程ax+b=0的解小于ax+b＇=0的解，求a，a＇b，b＇应满足的条件。
例4 解关于x的方程a2(1?x)?ax?1.
提示：整理成字母系数方程的一般形式，再就a进行讨论
例5 k为何值时，方程9x-3=kx+14有正整数解？并求出正整数解。 提示：整理成字母系数方程的一般形式，再就k进行讨论。 例6（1982年天津初中数学竞赛题）已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5－2a=0，当a每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解，并证明对任何a值它都能使方程成立吗？
分析 依题意，即要证明存在一组与a无关的x，y的值，使等式(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0恒成立，令a取两个特殊值（如a=1或a=-2），可得两个方程，解由这两个方程构成的方程组得到一组解，再代入原方程验证，如满足方程则命题获证， 本例的另一典型解法
例7（1989年上海初一试题），方程 并且abc≠0，那么x____
cab??。 cab例8（第4届美国数学邀请赛试题）若x1,x2,x3,x4和x5满足下列方程组：
提示：1、去分母求解；2、将3改写为
?2x1?x2?x3?x4?x5?6?x?2x?x?x?x?1212345???x1?x2?2x3?x4?x5?24 ?x?x?x?2x?x?48234x?1??x1?x2?x3?x4?2x5?96确定3x4+2x5的值.
说明：整体代换方法是一种重要的解题策略.
?mx?y?z?m?1?例9 解方程组?x?my?z?m?2?x?y?mz?m?3?提示：仿例8，注意就m讨论。
(1)(2) (3)?2x?3y?m?0例10 如果方程组?（1）的解是方程2x-y=4（2）的解，求m的值。
?3x?5y?m?2?0提示：1、从（1）中解出x,y用m表示，再代入（2）求m ；
2、在（1）中用消元法消去m再与（2）联立求出x,y，再代入（1）求m。 例11 如果方程ax+by+cz=d对一切x,y,z都成立，求a,b,c,d的值。 提示：赋值法。
y?zz?x?x???例12 解方程组?23。
??z?x?3提示：引进新未知数
第四讲 列方程（组）解应用题
一、知识要点
1、 列方程解应用题的一般步骤：审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等. 2、 列方程解应用题要领：
（1） 善于将生活语言代数化；
（2） 掌握一定的设元技巧（直接设元，间接设元，辅助设元）； （3） 善于寻找数量间的等量关系。 二、例题示范
1、合理设立未知元
例1一群男女学生若干人，如果女生走了15人，则余下的男女生比例为2:1，在此之后，男生又走了45 人，于是男女生的比例为1:5,求原来男生有多少人？ 提示：（1）直接设元
（2）列方程组：
例2 在三点和四点之间，时钟上的分针和时针在什么时候重合？
例3甲、乙、丙、丁四个孩子共有45本书，如果甲减2本，乙加2本，丙增加一倍，丁减少一半，则四个孩子的书就一样多，问每个孩子原来各有多少本书？ 提示：（1）设四个孩子的书一样多时每人有x本书，列方程；
（2）设甲、乙、丙、丁四个孩子原来各有x,y,z,t本书，列方程组：
例4 （1986年扬州市初一数学竞赛题）A、B、C三人各有豆若干粒，要求互相赠送，先由A给B、C，所给的豆数等于B、C原来各有的豆数，依同法再由B给A、C现有豆数，后由C给A、B现有豆数，互送后每人恰好各有64粒，问原来三人各有豆多少粒？ 提示：用列表法分析数量关系。
例5 如果某一年的5月份中，有五个星期五，它们的日期之和为80，求这一年的5月4日是星期几？
提示：间接设元.设第一个星期五的日期为x，
例6 甲、乙两人分别从A、B两地相向匀速前进，第一次相遇在距A点700米处，然后继续前进，甲到B地，乙到A地后都立即返回，第二次相遇在距B点400米处，求A、B两地间的距离是多少米？ 提示：直接设元。
例7 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原来降低了6.4%，使得利润率增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率。
提示：商品进价、商品售价、商品利润率之间的关系为：
商品利润率=[（商品售价—商品进价）?商品进价]?100%。
例8 （1983年青岛市初中数学竞赛题）某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，以每小时9千米的速度走平路到B地，共用55分钟.回来时，他以每小时8
1千米的速度通过平路后，以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用1小时，求A、
2B两地相距多少千米？
提示：1 （选间接元）设坡路长x千米
2 选直接元辅以间接元）设坡路长为x千米，A、B两地相距y千米 3 （选间接元）设下坡需x小时，上坡需y小时，
2、设立辅助未知数
例9 （1972年美国中学数学竞赛题）若一商人进货价便谊8%，而售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的x%增加到(x+10)%，x等于多少？
提示：引入辅助元进货价M，则0.92M是打折扣的价格，x是利润，以百分比表示，那么写出售货价（固定不变）的等式。
例10（1985年江苏东台初中数学竞赛题）从两个重为m千克和n千克，且含铜百分数不同的合金上，切下重量相等的两块，把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后，两者的含铜百分数相等，问切下的重量是多少千克？
提示： 采用直接元并辅以间接元，设切下的重量为x千克，并设m千克的铜合金中含铜百分数为q1，n千克的铜合金中含铜百分数为q2。
例 11 有一片牧场，草每天都在匀速生长 (草每天增长量相等)．如果放牧24头牛，则6 天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，设每头牛吃草的量是相等的，问如果放牧 16头牛，几天可以吃完牧草.
提示 设每头牛每天吃草量是x，草每天增长量是y，16头牛z天吃完牧草，再设牧场原有草量是a.布列含参方程组。
例 12 甲、乙二人在一圆形跑道上跑步，甲用 40秒钟就能跑完一圈，乙反向跑，每15秒钟和甲相遇一次，求乙跑完一圈需要多少时间?
提示：要求乙跑完一圈需要多少时间，就必须知道他的速度V米/秒，因此可以选择V 作参数．
3、方程与不等式结合
例13 数学测验中共有20道选择题。评分方法是：每答对一题给6分，答错一题扣2分，不答不给分。有一个学生只有一道题没答，并且他的成绩在60分以上，那么他至少答对多少题？
提示：利用方程、不等式组成的混合组求解。
第五讲 整数指数
一、知识要点 1、定义：an?aa?a （n?2,n为自然数） ???n个a2、整数指数幂的运算法则： （1）am?an?am?n
（2）am?an?am?n??am?n???1?1?n?m?annm?n,a?0m?n,a?0 m?n,a?0anan（3）(a)?a，(ab)?a?b，()?nbbmnmnn(b?0)
3、规定：a0=1(a?0) a?p=
1(a?0,p是自然数)。 pa4、当a，m为正整数时，am的末位数字的规律：
记m=4p+q，q=1,2,3之一，则a4p?q的末位数字与aq的末位数字相同。 二、例题示范
例1、计算 (1) 55?23 (2) (3a2b3c)(?5a3bc2)
(3) (3a2b3c)3 (4) (15a2b3c)?(?5a3bc2)
例2、求31001?71002?131003的末位数字。
提示：先考虑各因子的末位数字，再考虑积的末位数字。
例3、23021377?1是目前世界上找到的最大的素数，试求其末位数字。 提示：运用规律2。
例4、 求证：5|(21997?31998?41999?52000)。
提示：考虑能被5整除的数的特征，并结合规律2。
例5、已知n是正整数，且x2n=2，求(3x3n)2?4(x2)2n的值。 提示：将所求表达式用x2n表示出来。
例6、求方程(y+x)1949+(z+x)1999+(x+y)2002=2的整数解。 提示：|y+z|,|z+x|,|x+y|都不超过1，分情况讨论。
例7、若n为自然数，求证：10|(n1985?n1949)。
提示：n的末位数字对乘方的次数呈现以4为周期的循环。
例8、 若2x9y?2x9y，求x和y。
结论：x=5,y=2。
例9、对任意自然数n和k，试证：n4+24k+2是合数。 提示：n4+24k+2=(n2+22k+1)2?(2n?2k)2。
例10、对任意有理数x，等式ax?4x+b+5=0成立，求(a+b)2003.
第六讲 整式的运算
一、知识要点
1、整式的概念：单项式，多项式，一元多项式； 2、整式的加减：合并同类项； 3、整式的乘除：
（1） 记号f(x)，f(a)； （2） 多项式长除法；
（3） 余数定理：多项式f(x)除以(x-a)所得的余数r等于f(a)； （4） 因数定理：(x-a)|f(x)?f(a)=0。 二、例题示范 1、整式的加减
例1、 已知单项式0.25xbyc与单项式?0.125xm-1y2n-1的和为0.625axnym，求abc的值。 提示：只有同类项才能合并为一个单项式。
例2、 已知A=3x2n?8xn+axn+1?bxn-1，B=2xn+1?axn?3x2n+2bxn-1，A?B中xn+1项的系数为3，
xn-1项的系数为?12，求3A?2B。
例3、 已知a?b=5，ab=?1，求(2a+3b?2ab) ?(a+4b+ab) ?(3ab+2b?2a)的值。 提示：先化简，再求值。
例4、 化简： x?2x+3x?4x+5x?…+2001x?2002x。
例5、 已知x=2002，化简|4x2?5x+9|?4|x2+2x+2|+3x+7。 提示：先去掉绝对值，再化简求值。
例6、5个数?1, ?2, ?3,1,2中，设其各个数之和为n1，任选两数之积的和为n2，任选三个数之积的和为n3，任选四个数之积的和为n4，5个数之积为n5，求n1+n2+n3+n4+n5的值。
例7、王老板承包了一个养鱼场，第一年产鱼m千克，预计第二年产鱼量增长率为200%，以后每年的增长率都是前一年增长率的一半。 （1） 写出第五年的预计产鱼量；
（2） 由于环境污染，实际每年要损失产鱼量的10%，第五年的实际产鱼量为多少？比
预计产鱼量少多少？
2、整式的乘除
例1、已知f(x)=2x+3，求f(2),f(-1),f(a),f(x2),f(f(x))。
例2、计算：(2x+1)?(3x?2)?(6x?4)?(4x+2)
长除法与综合除法：
一个一元多项式f(x)除以另一个多项式g(x)，存在下列关系：
f(x)=g(x)q(x)+r(x) 其中余式r(x)的次数小于除式g(x)的次数。当r(x)=0时，称f(x)能被g(x)整除。
例3、（1）用竖式计算(x3?3x+4x+5)?(x?2)。 （2）用综合除法计算上例。
（3）记f(x)= x3?3x+4x+5,计算f(2)，并考察f(2)与上面所计算得出的余数之间的关系。 例4、证明余数定理和因数定理。
证：设多项式f(x)除以所得的商式为q(x)，余数为r，则有 f(x)=(x?b)q(x)+r，将x=b代入等式的两边，得
f(b)=(b?b)q(b)+r，故r=f(b)。
特别地，当r=0时，f(x)= (x?b)q(x)，即f(x)有因式(x?b)，或称f(x)能被 (x?b)整除。
例5、证明多项式f(x)=x4?5x3?7x2+15x?4能被x?1整除。
例6、多项式2x4?3x3+ax2+7x+b能被x2+x?2整除，求a,b的值。
提示：（1）用长除法，（2）用综合除法，（3）用因数定理。
例7、若3x3?x=1，求f(x)=9x4+12x3?3x2?7x+2001的值。
3
提示：用长除法，从f(x)中化出3x?x?1。
例8、多项式f(x)除以(x?1)和(x?2)所得的余数分别为3和5，求f(x)除以(x?1)(x?2)所得的余式。 提示：设f(x)=[ (x?1)(x?2)]q(x)+(ax+b)，由f(1)和f(2)的值推出。
例9、试确定a,b的值，使f(x)= 2x4?3x3+ax2+5x+b能被(x+1)( x?2)整除。
第七讲 乘法公式
一、知识要点 1、乘法公式
平方差公式：(a+b)(a?b)=a2?b2 完全平方公式：(a?b)2=a2?2ab+b2 立方和公式：(a+b)(a2?ab+b2)=a3+b3 立方差公式：(a?b)( a2+ab+b2)=a3?b3 2、乘法公式的推广
（1）(a+b)(a?b)=a2?b2的推广
由(a+b)(a?b)=a2?b2, (a?b)( a2+ab+b2)=a3?b3，猜想： (a?b)( )=a4?b4 (a?b)( )=a5?b5 (a?b)( )=an?bn
特别地，当a=1,b=q时，(1?q)( )=1?qn 从而导出等比数列的求和公式。 （2）多项式的平方
由(a?b)2=a2?2ab+b2，推出
(a+b+c)2=( ) , (a+b+c+d)2=( ) 猜想：(a1+a2+…+an)=( )。 当其中出现负号时如何处理？ （3）二项式(a+b)n的展开式
①一个二项式的n次方展开有n+1项；
②字母a按降幂排列，字母b按升幂排列，每项的次数都是n； ③各项系数的变化规律由杨辉三角形给出。 二、乘法公式的应用 例1、运用公式计算
(1) (3a+4b)(3a?4b) (2) (3a+4b)2
例2、运用公式，将下列各式写成因式的积的形式。
（1）(2x?y)2?(2x+y)2 (2)0.01a2?49b2 (3)25(a?2b) ?64(b+2a)
例3、填空
(1) x2+y2?2xy=( )2 (2) x4?2x2y2+y4=( )2 (3) 49m2+14m+1=( )2 (4) 64a2?16a(x+y)+(x+y)2 (5) 若m2n2+A+4=(mn+2)2,则A= ; (6) 已知ax2?6x+1=(ax+b)2，则a= ,b= ;
(7) 已知x2+2(m?3)x+16是完全平方式，则m= .
例4、计算
(1) 200002?19999?20001 (2) 372+26?37+132 (3) 31.52?3?31.5+1.52?100。 提示：（1）19999=20000?1
例5、计算（1） (1+2)(1+22)(1+24)(1+28)(1+216)(1+232)+1。
（2） (1+3)(1+32)(1+34)(1+38)…(1+32n)。
例6、已知x+y=10,x3+y3=100,求x2+y2。 提示：（1）由x3+y3=(x+y)3?3xy(x+y)，x2+y2=(x+y)2?2xy导出； （2）将x+y=10，平方，立方可解。
例7、已知a?1111?3，求a2?2，a3?3，a4?4的值。 aaaa
例8、已知a+b=1,a2+b2=2，求a3+b3， a4+b4， a7+b7的值。
提示：由(a3+b3)(a4+b4)= a7+b7+a3b4+a4b3= a7+b7+a3b3(a+b)导出a7+b7的值。
例9、已知a+b+c=0,a2+b2+c2=1求下列各式的值： （1）bc+ca+ab （2）a4+b4+c4
例10、已知a,b,c,d为正有理数，且满足a4+b4+c4+d4=4abcd，求证a=b=c=d。 提示：用配方法。
例11、已知x,y,z是有理数，且满足x=6?3y,x+3y?2z2=0,求x2y+z的值。
例12、计算19492?19502+19512?19522+…+20012?20022。
第八讲 不等式
一、知识要点
1、不等式的主要性质：
（1）不等式的两边加上（或减去）同一个数或整式，所得不等式与原不等式同向； （2）不等式两边乘以（或除以）同一个正数，所得不等式与原不等式同向； （3）不等式两边乘以（或除以）同一个负数，所得不等式与原不等式反向. （4）若A＞B，B＞C，则A＞C； （5）若A＞B，C＞D，则A+B＞C+D； （6）若A＞B，C＜D，则A?C＞B?D。 2、比较两个数的大小的常用方法： （1） 比差法：若A?B＞0，则A＞B；
A＞1，当A、B同正时， A＞B；A、B同负时，A＜B； B11（3） 倒数法：若A、B同号，且＞，则＜AB。
AB3、一元一次不等式：
（1） 基本形式：ax＞b (a?0); （2） 一元一次不等式的解：
bb当a＞0时，x＞,当a＜0时，x＜.
aa二、例题示范
例1、已知a＜0,?1＜b＜0,则a,ab,ab2之间的大小关系如何？
2?x2x?1例2、满足的x中，绝对值不超过11的那些整数之和为多少？ ?23例3、一个一元一次不等式组的解是2?x?3，试写出两个这样的不等式组。
例4、若x+y+z=30,3+y?z=50,x,y,z均为非负数，求M=5x+4y+2z的最大值和最小值。 提示：将y,z用x表示，利用x,y,z非负，转化为解关于x的不等式组。
例5、设a,b,c是不全相等的实数，那么a2+b2+c2与ab+bc+ca的大小关系如何？
1例6、已知a,b为常数，若ax+b＞0的解集是x＜，求bx?a＜0的解集。
3提示：如何确定a,b的正负性？
例7、解关于x的不等式ax?2＞x?3a (a?1)。 例8、解不等式|x?2|+|x+1|＜3 提示：去掉绝对值，讨论。
99?n例9、（1）比较两个分数与(n为正整数)的大小；
19?n （2）从上面两个数的大小关系，你发现了什么规律？
99?n99 （3）根据你自己确定的与之间正整数的个数来确定相应的正整数n的个
19?n19数。
10例10（上海1989年初二竞赛题）如果关于x的不等式(2a-b)x+a-5b＞0的解为x＜，
7那么关于x的不等式ax＞b的解是多少？
x?5ax?21?1＞例11、已知不等式的角是x＞?的一部分，试求a的取值范围。 222例12、设整数a,b满足a2+b2+2＜ab+3b,求a,b的值。 提示：将原不等式两边同乘以4并整理得
(2a-b)2+3(b-2)2＜4 (1)，
又因为a,b都是整数。故(2a-b)2+3(b-2)2?3。若(b-2)2?1，则3(b-2)2?3，这不可能。故0? (b-2)2＜1，从而b=2.将b=2代入（1）得(a-1)2＜1,故(a-1)2=0， a=1.所以a=1,b=2.
（2） 比商法：若
第九讲 恒等变形
一、知识要点
1、代数式的恒等：两个代数式，如果对于字母的一切允许值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等。
2、恒等变形：通过变换，将一个代数式化为另一个与它恒等的代数式，称为恒等变形。 二、例题示范
例1、已知a+b+c=2,a2+b2+c2=8,求ab+bc+ca的值。
例2、已知y=ax5+bx3+cx+d，当x=0时，y=?3；当x=?5时,y=9。当x=5时，求y的值。 提示：整体求值法，利用一个数的奇、偶次方幂的性质。
例3、若14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2，求a:b:c。 提示：用配方法。
注：配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用有关性质来解题.
例4、求证(a2+b2+c2)(m2+n2+k2) ?(am+bn+ck)2=(an?bm)2+(bk?cn)2+cm?ak)2 提示：配方。
例5、求证：2(a?b)(a?c)+2(b?c)(b?a)+2(c?a)(c?b)=(b?c)2+(c?a)2+(a?b)2。 提示：1、两边化简。2、左边配方。
例6、设x+2z=3y,试判断x2?9y2+4z2+4xz的值是不是定值，如果是定值，求出它的值；否则，请说明理由。
例7、已知a+b+c=3, a2+b2+c2=3，求a2002+b2002+c2002的值。
例8、证明：对于任何四个连续自然数的积与1的和一定是某个整数的平方。 提示：配方。
例9 、已知a+b=1,c+d=1,ac+bd=0,求ab+cd的值。 提示：根据条件，利用1乘任何数不变进行恒等变形。
例10、（1984年重庆初中竞赛题）设x、y、z为实数，且 (y-z)+(x-y)+(z-x)=(y+z-2x)+(z+x-2y)+(x+y-2z).
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
求的值.
3
3
3
例11、设a+b+c=3m,求证:(m-a)+(m-b)+(m-c)-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.
第十讲 代数式的值
一、知识要点
求代数式的值的主要方法： 1、利用特殊值；
2、先化简代数式，后代入求值； 3、化简条件后代入代数式求值；
4、同时化简代数式和条件式再代入求值； 5、整体代入法； 6、换元法。 二、例题示范
例1、已知a为有理数，且a3+a2+a+1=0,求1+a+a2+a3+…+a2001的值。 提示：整体代入法。
例2 （迎春杯初中一年级第八届试题）若
例3、已知a+b+c=0,求(a+b)(b+c)(c+a)+abc的值。 提示：将条件式变形后代入化简。
72711例4、当a=?0.2,b=?0.04时，求代数式(a2?b)?(a?b?0.16)?(a?b)值。
73724
例5、已知x2+4x=1,求代数式x5+6x4+7x3?4x2?8x+1的值。 提示：利用多项式除法及x2+4x?1=0。
例6、(1987年北京初二数学竞赛题)如果a是x2-3x+1=0的根,试求
的值.
例7、已知x,y,z是有理数，且x=8?y,z2=xy?16，求x,y,z的值。 提示：配方，利用几个非负数之和为零，则各个非负数都是零。
例8、已知x,y,z,w满足方程组
?x?y?z?2w??2?x?y?2z?w?7? ?
?x?2y?z?w?5??2x?y?z?w??5求xyzw的值。
例9、已知a+b+c=3,(a?1)3+(b?1)3+(c?1)3=0,且a=2,求a2+b2+c2的值。 例10 若
求x+y+z的值.
提示 令
例11（x-3）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+b+c+d+e+f=______, b+c+d+e=_____. 例12、若a,c,d是整数，b是正整数，且a+b=c,b+c=d,c+d=a，求a+b+c+d的最大值。（1991年全国初中联赛题）
第十一讲 直线与线段
一、知识要点 1、直线：（1）直线可向两方无限延伸；（2）过两点有且只有一条直线。 2、射线：
3、线段：直线上两点和它们之间的部分称为线段，线段有两个端点。两点间的所有连线中，线段最短。
4、三角形两边之和大于第三边。 二、例题示范
例1、如图，请用线段a,b,c来表示x。
练习1、线段AB长5cm，在AB上取点C，若AC长x，BC长为y，则y与x的关系式是__________，x取值范围是__________。在下面空处作出简图。
练习2、线段PC=1cm，延长PC至D，若CD=x，PD=y，则y与x的关系式是______________，x取值范围是__________。在下面空处作出简图。
例2、在一条直线上，如果给定n个点，那么以它们为端点的线段共有多少条？若从左至右相邻两点的线段的长度依次为a1,a2…,an-1，求所有线段的长度之和。 提示：长度之和S=a1?(n-1) ?1+a2?(n-2) ?2+…+an-1?1?(n-1)
例3、如图，点C、D、E是线段AB的四等分点，点F、G是线段AB的三等侵占为，已知AB=12cm，求CF+DF+EF的长。
例4、将直线上的每一点都染上红、黄色中的一种，求证：必存在同颜色的三个点，使其中一点是另两点连线段的中点。
提示：用构造法。并且用5个点来保证满足条件的点。
例5、在一条直线上已知四个不同的点依次是A、B、C、D，请在直线上找出一点P，使PA+PB+PC+PD最小。
例6、直线上分布着2002个点，我们来标出以这些点为端点的一切可能的线段的中点。试求至少可以得出多少个互不重合的中点。
提示：用归纳法。一般地，若直线上分布着n个点，结论为2n?3。
例7、点A、B在直线MN的两侧，请在MN上求一点P，使PA+PB为最小。
例8、点A、B在直线MN的同侧，请在MN上求一点P，使PA+PB为最小。
例9、两面相邻的墙上分别有两点A、B，如图，问从A到B走怎样的路线，才能使全长最短？（提示：用等角原理。）
例10、在直线MN的同侧有两点A、B，且AB的连线与MN不平行。请在MN上求一点P，使|PA?PB|为最大。
提示：连接AB交MN于P，则P为所求。
例11、在?ABC中，D是边AB上任意一点，如图，求证：AB+AC＞DB+DC。
例12、P是?ABC内一点，求证
（1）AB+AC＞PB+PC （2）AB+BC+CA＞PA+PB+PC
1PA?PB?PC（3）＜＜1
AB?AC?BC2
例13、已知P、Q是?ABC内两点，求证：AB+ACBP+PQ
提示：延长BP、CQ相交于D，则AB+AC＞DB+DC=BP+(PD+DQ)+QC＞BP+PQ+QC
第十二讲 角
一、知识要点
1、角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 2、锐角、直角、钝角、平角、周角。 3、补角、余角。 4、三角形的内角和。 二、例题示范
例1、如图，∠AOD=α，∠AOB=∠COD=β，∠COE=γ。请用α、β、γ表示∠BOE。
O
例2、如图，已知OE平分∠AOB，OD平分∠BOC，∠AOB为直角，∠EOD=70,求∠BOC的度数。
O
O
练习：如图，已知AOD是一直线，∠AOC=120，∠BOD=150，OE平分∠BOC，求∠AOE的度数。
例3、如图，以O为顶点，以OA1，OA2，…，OAn为边小于平角的角有多少个？若αi=∠AiOAi+1， (i=1,2,…,n)求出所有角的和。
答：共有角n(n-1)/2个，角度的总和为α=α1?(n-1)?1+α2?(n-2)?2+…+αn-1?1?(n-1)。 例4、上题中，若每一个角都作一条角平分线，问至少可得出多少条互不重合的有平分线？ 答：2n-3条。
O
例5、过点O任意作14条射线，求证：以O0 顶点的角中至少有一个小于26。
例6、如图，已知直线AB与CD相交于O，OE，OF，OG分别是∠AOC、∠BOD、∠AOD的平分线。求证：（1）E、O、F三点在同一直线上；（2）OG?EF。
O
例7、如图是一个3?3的正方形，求图中∠1+∠2+∠3+…+∠9的和。（答：405）。 例8、求凸n边形的内角和。
例9、在下图中，找出∠BCD与∠ABC、∠BAC、∠ADC之间的关系。 答：∠BCD=∠ABC+∠BAC+∠ADC。
例10、分别求出下图（1）（2）（3）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
图（1） 图（2） 图（3） 例11、分别求出一图（1）（2）（3）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。
例12、求下图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数。
第十三讲 相交线与平行线
一、知识要点
1、平面内两条直线的位置关系：相交或平行。
（1）相交线：如果两条直线有一个公共点，则称为两相交直线； （2）平行线：如果两条直线没有公共点，则称为平行直线。
2、两条直线的垂直：如果两条直线相交所成的角为直角，则称这两条直线互相垂直。 3、两条直线垂直的两个重要结论：
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。
4、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
5、两条直线平行的判定： （1）两直线没有公共点； （2）同时与第三条直线平行；
（3）被第三条直线所截，同位角相等； （4）被第三条直线所截，内错角相等； （5）被第三条直线所截，同旁内角互补； （6）垂直于同一直线。
6、两平行直线被第三直线所截，有： （1）同位角相等；（2）内错角相等； （3）同旁内角互补。 二、例题示范
例1、三条直线相交于一点，共可组成几对对顶角？若三条直线两两相交，但未必相交于一点呢？
一般地，n(n?2)条直线两两相交，共可组成几对对顶角？ 提示：n(n-1)。
例2、设a,b,c为锐角三角形?ABC的边长，而为对应边上的三条高线长，求证： ha+,hb+,hc＜a+b+c
例3、在?ABC中，AD、BE是两边上的高，垂足D、E分别在边BC、AC上，已知CE+CD=AB，求证：∠C为锐角。
例4、如图，平行直线EF、MN被相交直线AB、CD所截，请问图中有多少对同旁内角？其中互补的有多少对？
提示：分解为几个“三线八角”的基本图形。 答：16对，相等的有4 对。
例5、求证：一条直线与两条平行线中的一条相交，则也必与另一条相交。 提示：用反证法。
例6、证明：三角形三内角和等于180o。 提示：作辅助线，利用平角证明。
例7、两个角αβ的补角互余，则这两个角的和α+β的大小是＿＿＿。
例8、如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F。
例9、在同一平面内有三条直线l1,l2,其中l1与,l2相交，l3与l1平行，请找出与这三条线等距离的点。
例10、如图（1），∠ABC=120o，∠BCD=85o， ED,求∠CDE的度数。 （2）∠ABC=25o，∠BCD=30o，AB‖ED,求∠CDE的度数。 （3）∠ABC=125o，∠BCD=95o，AB‖ED,求∠CDE的度数。
例11、如图，AB‖CD，那么∠1?∠2+∠3?∠4+∠5= 。
逻 辑 推 理
一、知识要点 1、逻辑推理的基本依据：当对一个命题是否正确进行判断时，一个东西不能同时是什么又不量什么，不能同时又是甲又是乙，如果出现这种情况，就说明在逻辑上是矛盾的。
2、逻辑推理的一般解法：从某一个条件出发，根据其它条件进行正确推理，如果最后得到的结论满足全部条件而不出现矛盾，则这就是所要求的方案；如果得到互相矛盾的结果，就必须改换起始
条件重新开始，直到得出满足条件的方案为止。 二、例题示范 1、直接推理
例1、在一张卡片上写有四句话，内容都是关于这四句话的： 1、在这张卡片上恰有一句话是错的。 2、在这张卡片上恰有两句话是错的。 3、在这张卡片上恰有三句话是错的。 4、在这张卡片上恰有四句话是错的。
问这张卡片上到底有几句话是错的，它们是哪几句？
例2、在国际广播电台工作的李铃、张兰和刘英分别会说俄语、法语和日语（不一定按顺序）。会说法语的打乒乓球的常赢刘英，刘英是会说俄语的人的表妹，张兰的学历比会说法语的高。谁会说俄语？
例3、一个星期六的晚上，小丁约小张星期日一起去国际展览中心看电脑展。小张说：“如果明天不下雨，我在去图书馆查一个重要资料。”第二天，下起了毛毛细雨。小丁想，既然今天下雨了，小张一定不会去图书馆了。于是又去小张家，约他去看电脑展。谁知小张仍然去图书馆了。星期一见面后，小丁责备小张食言，既然天下雨了，为什么还去图书馆呢？但小张却说自己没有食言，而是小丁的推理不合逻辑。请问：究竟是小张食言了，还是小丁的推理不合逻辑呢？ 例4、现有四个人M、N、P、Q对W先生的藏书数目作一个估计： M说：W有五百本书； N说：W至少有一千本书； P说：W的书不到两千本： Q说：W最少有一本书。
这四个估计中只有一人是对的，问W先生究竟有多少本书？ 提示：P对，W一本书也没有。
例5、四个人L、M、N、O进行百米赛跑，问到比赛结果时，他们的回答是这样的： L：N第一，M第二；M：N第二，O第三；N：O最后，L第三。 如果每个从的两个答案中有且只有一个是对的，而且没有并列名次，那么谁在比赛中获得了第一？ 答案：N第一，L第二，O第三，M第四。
例6 一个国家的居民不是骑士就是无赖，骑士从不说谎，无赖永远说谎，我们遇到该国的居民A、B、C。
A说：如果C是骑士，则B是无赖；C说：A和我不同，一个是骑士，一个是无赖。 请问：这三个人，谁是骑士？谁是无赖？ 答案：A是无赖，B、C是骑士。
例7、A、B、C、D四个小孩在院子里玩耍，有一个小孩把玻璃打碎了。当问到这四个孩子时，这四个孩子的回答是：
A说：B打破的；B说：D打破的；C说：不是我打破的；D说：B说谎。 已知其中只有一个孩子说了真话，请问是谁打破了玻璃，谁说了真话？ 答案：D说了真话，C打破了玻璃。
例8、有一个旅社的某房间发生了凶杀案，公安人员经过仔细调查，落实到A、B、C、D四个嫌疑人身上，且可断定A、B、C、D中真正作案的人有且仅有两个，群众提供的可靠线索如下： （1）案发时间内，A、B两人有且只有一人去过那里； （2）案发时间内，B、D不会同时去那时；
（3）案发时间内，若C去过那里，则D必定同去； （4）案发时间内，若D没去那里，则A也不会去。 试判断他们四个人哪个是杀人犯？ 2、借助图表
例9、房间里有8 个人，每人都与其余的每个人握一次手，而且只握一次手，试问共握多少次手？ 提示：1、转化为凸八边形的对角线与边数之和为多少。2、用组合公式。
例10、证明：在任何6个人之间，或者有三个互相认识，或者有三个互相不认识。 提示：用连线法。
例11、A、B、C三人在北京、上海、广州的中学里教不同课程：数学、语文、外语。已知： （1）A不在北京工作，B不在上海工作； （2）在北京工作的人不教外语； （3）在上海工作的人教数学； （4）B不教语文。
问这些人各在什么城市教什么课程？
例12、有50个女孩，她们的肤色是白的或浅黑色的，眼睛是蓝色的或褐色的。如果有14个是蓝眼睛白肤色，31个是浅黑肤色，18个是褐色眼睛，那么褐色眼睛浅黑皮肤的女孩有几个？ 解：
肤色 白色 浅黑色
眼睛
b 蓝色 a
d 褐色 c
则50=a+b+c+d 因a=14 所以b+c+d=36 又b+d=31所以b+c+d+d=49 从而d=13.
第十五讲 周长与面积
一、知识要点
1、若把给定图形分成若干部分，则分成的各部分面积之和等于给定图形的面积。 2、常用的面积公式：（1）三角形 （2）平行四边形 （3）梯形 3、三角形面积的几个重要结论：
（1）等底等高的两个三角形面积相等；
（2）两个三角形的面积之比，等于它们的底高乘积之比； （3）两个等底的三角形的面积之比等于它们的高之比； （4）两个等高的三角形的面积之比等于它们的底之比。 4、面积问题的解答技巧：
（1）多边形的面积转化为三角形的面积；
（2）运用图形变换技巧，善于对图形进行分解与组合。 二、例题示范
例1、如图，将图（1）中a?b的矩形剪去一些小矩形得图（2），图（3），分别求出各图形的周长，其中EF=c。
图（1） 图（2） 图（3）
例2、一个矩形内有一个圆（如图），请你用一条直线同时将圆和矩形的周长二等分（说明方法）。
例3、如图，?ABC中有一个凸五边形A1B1C1D1E1，试证明：?ABC的周长p大于五边形A1B1C1D1E1的周长q。
例4、如图，长方形ABCD的面积为1，BE:EC= 5:2,DF:CF=2:1，求?AEF的面积。
例5、如图，一个长方形恰被分成6个正方形，其中最小的 正方形的面积为1平方厘米，求这个长方形的面积。
例6、如图，AB=BC=a厘米，AD=DC=b厘米，其中a与b是整且a＞b,四边形ABCD的面积是385平方厘米。当这个图形的是最小时，求a:b。
例7、如图，等腰三角形ABC和平行边上的中点，三角形ABC上的高为6厘米，是平行四边形的高的2倍。已知三角形CDE积是30平方厘米，求三角形ABC的面积。
底边的面
数，周长
例8、如图，平行四边形ABCD中，EF‖AC分别交CD、AD于E、F。连接AE、BE、BF、CF，问与?BCE面积相等的三角形有几个？分别是哪几个？
例9、 如图,（1）BMDF和ADEN都是正方形,已知△CDE
的面积为6,则△ABC的面积为____。 （2）若正方形ADEN的面积为50，则△ABE的面 积是＿＿。
例10、 如图4,△ABC、△DEF、△GHK是大小相同的等边三角形，它们的面积都是16，又知△AHF的面积为25，三张纸片互相重合部分（即中间小三角形）的面积为4，则图中三个阴影部分面积的和为_______ 。 答：15。
例11. 图5中的三十六个小等边三角形的面积都等于1,则△ABC的面积为______。
答：21
第十六讲 一次不定方程
一、知识要点
1、不定方程：未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）称为不定方程（或方程组）。
2、二元一次不定方程的一般形式：ax+by=c。 3、二元一次不定方程ax+by=c有整数解的判定：
定理1：若二元一次不定方程ax+by=c中，a和b的最大公约数不能整除c，则方程没有整数解。
例如，方程2x+4y=5没有整数解。（想一想为什么？）
定理2：如果正整数a,b互质，则方程ax+by=1有整数解，同时方程ax+by=c有整数解。
例如，3x+5y=7，3与5互质，x=-1,y=2是这个方程的一组整数解。
定理3：如果a,b互质，且方程ax+by=c有一组整数解x0,y0，则此方程式的所有整数解可表示为
?x?x0?bt??y?y0?at?x?x0?bt 或 ?(t为整数）?y?y0?at(t为整数）
?x??1?5t例如，3x+5y=7的所有整数解可表示为?
?y?2?3t(t为整数）4、一次不定方程的整数解的求法：观察法；辗转相除法。 二、例题示范
例1、判断下列不定方程（组）哪些有整数解，哪些没有整数解。 (1) 4x+6y=7 (2) 4x+8y=10
?6x?3y?5(3) ? (4)
?y?2z?1?6x?3y?10 ??y?2z?1
例2、求方程3x+5y=1的整数解。 （1）观察法； （2）辗转相除法。
练习：求4x+5y=7的整数解。
例3、求方程37x+107y=25的整数解。
例4、求方程7x+4y=100的所有正整数解。
2ab例5、如果三个既约真分数,,的分子都加上b，这时得到的三个分数的和为6，求
345这三个既约真分数的积。
例7、百鸡问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？
提示：列不定方程组，化为不定方程解之。
例8、设七位数62xy427为99的倍数，则x,y的值是 。
例9、某校学生200人左右，但不超过210人。按四列排队最后余1人，按6列排队最后余1人，按9列排队最后余4人，问有多少学生？
例10、某少年2003年的年龄等于出生年份的末两位数字之和，求他的出生年份。
第十七讲 待定系数法
一、知识要点
1、待定系数法：通过设立待定的未知系数来解决问题的方法。
2、待定系数法的特点：先假定一个恒等式，其中含有待定的未知系数，然后根据题目条件找到待定系数字母所满足的关系式，求出待定系数，使问题得以解决。
3、待定系数法的理论依据：两个多项式恒等，则对于字母的任意允许值，其值相等。 二、例题示范
例1、有一个一元二次多项式f(x)，已知f(0)=1,f(2)=7,f(3)=16,求f(-1)的值。
练习1：求一个一元二次多项式，使得x=0时，其值为?1，x=1时，其值为2，x=0时，其值为3。
例2、设f(x)=ax2,g(x)=bx?2,当x=1,2时，f(x)=g(x)，求a,b的值。
例3、下列各式的左边应配上什么数，才能得到中右边的平方：
x2?（1）x3+ = (x? )2, （2）3x2?2x+ =3(x? )2
例4、若3x2+ax?7被3x?2除后余5，求商式和a的值。
例5、如果多项式xy+3y?2x?6是x+3与另一多项式的乘积，试求这个多项式。 提示：设xy+3y?2x?6=(x+3)(ay+b)
练习2 试将x2+x?2表示为两个一次因式的乘积。
例6、有一数列1，4，7，10，…，2002，…，请问2002是这个数列的第几项？ 提示：an=3(n-1)+1
例7、已知x4?4x3+12x2?16x+m是一个完全平方式，求常数m的值。
提示：设x4?4x3+12x2?16x+m=(x2+ax+b)2.
例8、试将多项式x2+x+1表示成a(x-1)2+b(x-1)+c的形式。 例9、若
111?a(?)，试确定a的值，其中m,n为已知数。并求
n(n?m)nm11111的值。 ??????4287719810300
第十八讲 抽屉原理
大家知道，两个抽屉要放置三只苹果，那么一定有两只苹果放在同一个抽屉里，更一般地说，只要被放置的苹果数比抽屉数目大，就一定会有两只或更多只的苹果放进同一个抽屉，可不要小看这一简单事实，它包含着一个重要而又十分基本的原则——抽屉原则. 一、抽屉原则有两种最常见的形式：
原则1：如果把n+k(k≥1)个物体放进n只抽屉里，则至少有一只抽屉要放进两个或更多个物体。
证明：假设每一个抽屉中最多只有一个物体，则这n只抽屉所有的物体之和小于或等于n个，与已知条件矛盾，所以至少有一只抽屉要放进两个或更多个物体。 原则2： 如果把mn+k(k≥1)个物体放进n个抽屉，则至少有一个抽屉至多放进m+1个物体. 证明 同原则1相仿.若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能. 二、应用举例
例1、某学校有367名学生生于1988年，证明：在至少有两个人的生日是同一天。
例2、求证：任取8个整数，其中必存在两个数，其差是7的倍数。
提示：把8个整数按被7除的余数分类，共有7类，根据抽屉原理1可知，必有两个整数属于同一类，即这两个整数被7除所得的余数相同，从而其差能被7整除。
例3、幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，则不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.
例4、夏令营组织2002名营员去游览故宫、景山公园、北海公园、规定每人至少去一处，最多去两处游览，试问至少有几人游览的地方完全相同？证明你的结论。
例5、正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体一定有三个面颜色相同.
例6、有黑、白、黄筷子各8只，不用眼睛看，任意地取出筷子来，使得至少有两双不同色的筷子，那么至少要取出多少只筷子才能做到？
例7、已知一个圆，经过圆心任意作993条直径，它们与圆共有1996个交点，在每个交点处分别填写从1到496中的一个整数（可以重复填写）。证明：一定可以找到两条直径，它们两端的数之和相等。
例8、把1到10的自然数摆成一个圆 圈，证明一定存在在个相邻的数，它们的和数大于17.
例9、 从自然数1，2，3，…99，100这100个数中随意取出51个数来，求证：其中一定有两个数，，它们中的一个是另一个的倍数.
第十九讲 计数
一、知识要点
1、 加法原理：完成一件事，可以有n类办法，在第一类方法中，有m1种不同的方法，
在第二类办法中，有m2种不同的方法……，在第n类办法中，有mn种不同的方法。那么，完成这件事共有：N=m1+m2+……+mn种不同的方法。
2、 乘法原理：完成一件事，需要n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步 有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法。那么，完成这件事共有：N=m1×m2×……×mn种不同的方法。
3、 组合数公式：从m个不同元素里，每次取n个不同的元素，只管元素的组成而不管
排列顺序，叫做从m个不同元素里，每次取n个不同的元素的组合。从m个不同元素里，每次取n
n个元素的组合的种数（用Cm表示）可用下面公式计算：
m?(m?1)???(m?n?1) n Cm?n?(n?1)???2?1二、例题示范
例1、有5件不同的上衣，3 条不同的裤子，4顶不同的帽子，从中取出一件上衣、一顶帽子、一条裤子配成一套装束，最多有多少种不同的装束？
例2、从甲地到乙地，乘坐火车、汽车或轮船中的任何一种均可直接到达。如果每天从甲地
到乙地有火车4班，汽车8班，轮船2班，试问从甲地到乙地在一天中共有多少种不同的走 法？
例3、从甲地到乙地，必须经过A地中转，如果从甲地到A地有4条路，A地到乙地有3 条路，问从甲地到乙地的途径有几种？
练习1：如图，从A地到D地共有多少种走法？
例4、用数字1，3，5可以组成多少个数字不重复的自然数？
例5、用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个数字不重复的4位数？其中有多少偶数？
例6、将6个相同的乒乓球，分给A、B、C三个小朋友，每人至少分一个球，问有多少种不同的分法？
例7、如图，对A、B、C、D四个区域分别用红、黄、蓝、白四种颜色中的某一种着色，若使相邻的区域着不同的颜色，问有多少种不同的着色方法？
例8、如图，对A、B、C、D、E五个区域分别用红、黄、蓝、绿、白五种颜色中的某一种着色，若使相邻的区域着不同的颜色，问有多少种不同的着色方法？
例9、有一批规格相同的塑料圆棒，每根划分为长度相同的三节，每节用红黄蓝三种颜色来涂色，问可以得到多少种不同的颜色的圆棒？
例10、平面上有10个点，无任何三点共线， （1）、以这些点为端点的线段共有多少条？ （2）、以这些点为顶点的三角形共有多少个？
例11、平面上有10条直线，每两条都相交， （1）、最多有多少个交点？ （2）、共有多少组对顶角？
例12、从A、B、C、D、E五位同学中选出正、副班长各一名，问共有多少种选法？
例13、奥训班共有12名同学，其中男女各半，
（1）如果从中选出4人去参加比赛，共有多少种不同的选法？
（2）如果从中选出4人去参加比赛，并要求男女各半，共有多少种不同的选法？
（3）如果从中选出4人去参加比赛，并要求至少有一名女生，共有多少种不同的选法？
例14、有5个同学排成一排照相， （1）、共有多少种不同的排法？ （2）、若A、B必须排在一起，共有多少种不同的排法？ （3）、若A、B不排在一起，共有多少种不同的排法？
初中数学竞赛辅导讲座19讲（全套）
