高等数学第六版上册课后习题答案
第一章
习题1－1 1、 设A?(??? ?５)?(5? ??)? B?[?10? 3)? 写出A?B? A?B? Ａ\\Ｂ及A＼(Ａ\\B)得表达式。
解 A?B?(??? ３)?(５? ＋?)? A?B?[－10? －5)?
A\\B＝(??? ?1０)?(5? ??)?
A＼(A\\B)?[?１0? ?5)?
２。 设A、B就是任意两个集合? 证明对偶律? (A?B)C＝AC ?ＢＣ 、 证明 因为
ｘ?(A?Ｂ)C?x?A?B? x?A或x?B? x?AC或x?BC ? ｘ?AC ?ＢC
?
所以 (A?B)C?AＣ ?ＢC 、
3。 设映射ｆ ? X ?Y? A?X? B?X ? 证明 (1)ｆ(A?Ｂ)＝f(Ａ)?f(Ｂ)? (2)f(A?B)?ｆ(A)?f(Ｂ)、
证明 因为
y?f(A?Ｂ)??x?A?Ｂ? 使f(x)?y
?(因为x?Ａ或x?B) ｙ?f(A)或y?f(B) ? ｙ?ｆ(A)?f(Ｂ)? 所以 f(A?Ｂ)?f(A)?ｆ(B)、 (2)因为
y?f(A?B)??x?A?B? 使f(ｘ)?y?(因为x?A且x?B) y?f(Ａ)且ｙ?ｆ(Ｂ)? ｙ? f(A)?ｆ(Ｂ)?
所以 f(A?B)?f(A)?f(B)、
4? 设映射ｆ ? Ｘ?Ｙ? 若存在一个映射ｇ? Y?X? 使? ? 其中ＩＸ、ＩY分别就是X、Y上得恒等映射? 即对于每一个ｘ?X? 有IX x＝x? 对于每一个y?Y? 有IY y?y。 证明? f就是双射? 且ｇ就是f得逆映射? ｇ＝ｆ ?1。
证明 因为对于任意得y?Y? 有x?g(ｙ)?X? 且ｆ(x)?f[ｇ(y)]?Iｙ y＝y? 即Y中任意元素都就是Ｘ中某元素得像? 所以ｆ为Ｘ到Y得满射。
又因为对于任意得ｘ１?ｘ２? 必有f(ｘ１)?f(x２)? 否则若f(x1)?f(x2)?g[ f(ｘ1)]
＝ｇ［f(ｘ2)] ? x1?x2?
因此f既就是单射? 又就是满射? 即f就是双射、
对于映射ｇ? Y?X? 因为对每个y?Y? 有g(y)?x?X? 且满足f(x)?f［g(y)]?Ｉy y?y? 按逆映射得定义? g就是f得逆映射。 5、 设映射f ? X?Y? A?X 。 证明? (1)f －1(f(A))?A?
(２)当ｆ就是单射时? 有f ?１(f(A))＝A ?
证明 (1)因为x?Ａ ? f(x)＝y?f(A) ? f －１(y)?x?f －1(f(Ａ))? 所以 f ?(f(A))?A。
１
(2)由(1)知ｆ?1(ｆ(A))?A、
另一方面? 对于任意得x?f ?1(f(Ａ))?存在y?f(A)? 使ｆ ?1(y)＝x?f(x)?y 。 因为y?f(A)且ｆ就是单射? 所以x?A、 这就证明了f －1(f(Ａ))?A、 因此f －1
(f(Ａ))?A ?
6。 求下列函数得自然定义域? (１)?
解 由3x?２?0得、 函数得定义域为。
(2)?
解 由1?x2?0得x??1、 函数得定义域为(??? －1)?(－1? 1)?(1? ＋?)、 (3)?
解 由x?０且1－x２?0得函数得定义域Ｄ?［－1? 0)?(0? 1]、 (4)?
解 由4－x2?０得 ｜ｘ|?2、 函数得定义域为(?2? 2)、 (5)?
解 由x?0得函数得定义D?[0? ??)、 (6) ｙ?tan(x?1)?
解 由(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)得函数得定义域为(k＝0? ?1? ?2? ? ? ?)。 (７) y＝arcsiｎ(x－3)?
解 由｜x?3|?１得函数得定义域D＝[2? 4］、 (8)?
解 由３?ｘ?0且x?０得函数得定义域D?(??? ０)?(0? 3)。 (9) ｙ?lｎ(ｘ?１)?
解 由x?1?０得函数得定义域Ｄ＝(?1? ??)? (10)。
解 由x?0得函数得定义域D?(??? 0)?(0? ＋?)、
７、 下列各题中? 函数f(ｘ)与g(ｘ)就是否相同?为什么? (１)f(x)＝lｇ x２? ｇ(x)＝２lg ｘ? (2) ｆ(ｘ)?ｘ? g(x)＝? (3)?、
(4)ｆ(x)?１? ｇ(x)?ｓec2ｘ－tan2ｘ 。 解 (1)不同、 因为定义域不同、
(2)不同、 因为对应法则不同? x?０时? g(x)?－x? (３)相同、 因为定义域、对应法则均相相同、
(4)不同? 因为定义域不同、
8、 设? 求? ? ? ?(?2)? 并作出函数ｙ?ｊ(ｘ)得图形? 解 ? ? ? 。
9、 试证下列函数在指定区间内得单调性? (１)? (??? 1)?
(2)ｙ?x＋ln x? (0? ＋?)、
证明 (1)对于任意得x1? ｘ2?(－?? 1)? 有1?x1?0? 1?x2?０、 因为当x１?x2时?
?
所以函数在区间(－?? 1)内就是单调增加得、 (２)对于任意得x１? x2?(0? ＋?)? 当x1?x2时? 有
?
所以函数y?x?lｎ x在区间(０? ??)内就是单调增加得。
１0、 设 f(ｘ)为定义在(－l? l)内得奇函数? 若ｆ(x)在(０? l)内单调增加? 证明ｆ(x)在(－l? 0)内也单调增加。
证明 对于?x1? x2?(?ｌ? 0)且x1〈ｘ2? 有?x1? －ｘ2?(0? l)且?x1??ｘ2、 因为f(x)在(0? l)内单调增加且为奇函数? 所以
f(?x２)?ｆ(?x1)? ?f(ｘ2)?－f(x1)? f(ｘ2)?f(x1)?
这就证明了对于?x1? x２?(－l? 0)? 有f(x1)? f(x２)? 所以f(ｘ)在(?l? 0)内也单调增加、 11、 设下面所考虑得函数都就是定义在对称区间(?ｌ? ｌ)上得? 证明? (1)两个偶函数得与就是偶函数? 两个奇函数得与就是奇函数?
(2)两个偶函数得乘积就是偶函数? 两个奇函数得乘积就是偶函数? 偶函数与奇函数得乘积就是奇函数、
证明 (1)设Ｆ(x)?f(ｘ)?g(x)。 如果f(x)与g(x)都就是偶函数? 则
F(?ｘ)?ｆ(－x)?g(?x)＝f(x)?ｇ(x)?F(x)? 所以F(x)为偶函数? 即两个偶函数得与就是偶函数、 如果f(ｘ)与g(x)都就是奇函数? 则
F(?ｘ)?f(?x)＋g(?x)??ｆ(ｘ)－ｇ(ｘ)?－F(ｘ)? 所以F(x)为奇函数? 即两个奇函数得与就是奇函数。
(2)设F(x)?f(x)?g(x)。 如果ｆ(x)与ｇ(x)都就是偶函数? 则 F(?x)?ｆ(－ｘ)?g(?x)＝f(x)?g(ｘ)?F(x)? 所以Ｆ(x)为偶函数? 即两个偶函数得积就是偶函数、 如果f(x)与g(ｘ)都就是奇函数? 则
F(?x)?f(?x)?ｇ(－ｘ)?[－f(x)]［－g(x)］?ｆ(x)?g(ｘ)?F(x)? 所以F(x)为偶函数? 即两个奇函数得积就是偶函数、 如果f(ｘ)就是偶函数? 而g(x)就是奇函数? 则
F(?ｘ)?f(?x)?g(?ｘ)＝f(x)[?g(x)］??ｆ(x)?g(x)??F(x)? 所以Ｆ(x)为奇函数? 即偶函数与奇函数得积就是奇函数?
12、 下列函数中哪些就是偶函数? 哪些就是奇函数? 哪些既非奇函数又非偶函数?
(1)y?x2(１?ｘ2)?
(2)y?3x2?x3? (3)?
(４)y?x(x?1)(x＋1)?
(５)y?sｉn ｘ?cos x?１? (6)。
解 (１)因为f(?ｘ)?(?x)2［1?(?x)2］?ｘ2(１?x2)?ｆ(x)? 所以f(x)就是偶函数? (2)由f(－x)?3(?x)2?(?x)3＝3x2?x3可见f(ｘ)既非奇函数又非偶函数、 (3)因为? 所以f(x)就是偶函数、
(４)因为f(?x)?(－x)(?x－1)(?x?１)＝?x(ｘ?1)(x?1)??ｆ(x)? 所以f(x)就是奇函数。
(5)由f(?x)?sin(?x)?coｓ(?x)?1??ｓin ｘ?cｏs x?1可见f(ｘ)既非奇函数又非偶函数、
(6)因为? 所以f(ｘ)就是偶函数。
13、 下列各函数中哪些就是周期函数？对于周期函数? 指出其周期? (１)y?ｃos(x?2)?
解 就是周期函数? 周期为l?2?、
(2)y?coｓ ４x?
解 就是周期函数? 周期为。 (3)ｙ?１?sｉn ｐx?
解 就是周期函数? 周期为l?2。 (４)y?xcｏs x?
解 不就是周期函数。 (５)y?sin2x?
解 就是周期函数? 周期为l?ｐ? １4。 求下列函数得反函数?
(１)错误!未指定书签。错误!未指定书签。? 解 由得x＝ｙ３－1? 所以得反函数为y?ｘ3?1? (2)错误!未指定书签。?
解 由得? 所以得反函数为? (3)(ad－bc?0)?
解 由得? 所以得反函数为。
(4) y?2sin3x?
解 由y＝2sin 3x得? 所以y?2sin3x得反函数为。 (5) y＝1?ｌｎ(x?２)?
解 由ｙ?１?ln(ｘ＋2)得x?ｅｙ－１?2? 所以ｙ?1?ln(x?2)得反函数为y?ｅx?1
?2、
(6)?
解 由得? 所以得反函数为? 15。 设函数f(x)在数集X上有定义? 试证? 函数f(ｘ)在X上有界得充分必要条件就是它在Ｘ上既有上界又有下界、
证明 先证必要性。 设函数f(ｘ)在X上有界? 则存在正数Ｍ? 使｜ｆ(x)｜?M? 即－M?f(x)?M。 这就证明了f(x)在X上有下界?M与上界M。
再证充分性? 设函数ｆ(ｘ)在Ｘ上有下界Ｋ1与上界K2? 即K１?f(ｘ)? K2 、 取M?ｍax｛｜K1｜? ｜K2｜｝? 则 －M? K１?f(x)? Ｋ2?M ? 即 |f(x)|?Ｍ?
这就证明了ｆ(ｘ)在Ｘ上有界。
１6? 在下列各题中? 求由所给函数复合而成得函数? 并求这函数分别对应于给定自变量值x1与ｘ2得函数值? (1) y＝u2? u?sin x? ? ? 解 y?ｓin２ｘ? ?、 (2) y?sin u? u?2x? ??
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