4.4
(3)
(见A本43页)
两个三角形相似的判定
A 练就好基础 基础达标
1．在小正方形的网格中，下列四个选项的三角形中，与如图所示的三角形相似的是( B )
第1题图 A． B． C． D.
2．如图所示，A，B，C，P，Q，甲、乙、丙、丁都是方格纸的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁4点中的( C )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
第2题图
第3题图
3．如图所示，四边形ABGH，BCFG，CDEF都是正方形，图中与△HBC相似的三角形为( A ) A．△HBD B．△HCD C．△HAC D．△HAD
4．一个三角形钢架的三边长分别为20 cm、30 cm和40 cm.现在要做一个与其相似的三角形钢架，已有一根12 cm的钢管，还需要截两根长分别为 答案不唯一，如8 cm和16 cm 的钢管．
5．如图所示，边长为1的三个正方形并排放在一起，则AC＝__10__． 3第5题图
6．如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A，B，C在小正方形的顶点上．请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC(相似比不为1)，且点A1，B1，C1都在小正方形的顶点上．
第6题图
第6题答图
7．如图所示，O是△ABC内一点，D，E，F分别是OA，OB，OC上的点，且满足DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC.
求证：△DEF∽△ABC.
第7题图
证明：∵DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC， DEODDFOFEFDEDFEF∴＝＝＝＝，即＝＝. BAOAACOCBCBAACBC
∴△DEF∽△ABC.
8．如图所示，在正方形网格上画有梯形ABCD.求∠BDC的度数．(提示：找出图中一对相似三角形)
第8题图
解：设小正方形的边长为1，由勾股定理，得 AD＝1，AB＝2，BD＝5，DC＝10，BC＝5. ADABBD5∴＝＝＝， BDCDBC5∴△ABD∽△DCB， ∴∠ABD＝∠DCB.
∵∠ABD＋∠DBC＝45°， ∴∠DCB＋∠DBC＝45°，
∴∠BDC＝135°.
B 更上一层楼 能力提升
9．如图所示，在Rt△ABC中(∠C＝90°)，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为( C )
A．5 B．6 C．7 D．12
第9题图
第10题图
10．河池中考如图所示，菱形ABCD的边长为1，直线l经过点C，交AB的延长线于M，11
交AD的延长线于N，则＋＝__1__．
AMAN
第11题图
11．2017·宿迁中考如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．
(1)求证：△BDE∽△CEF.
(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC. 证明：(1)∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C，
∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB， ∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB， ∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF， ∴△BDE∽△CEF. (2)∵△BDE∽△CEF，
BEDE
∴＝，∵点E是BC的中点， CFEFCEDECECF
∴BE＝CE，∴＝，＝. CFEFDEEF
∵∠DEF＝∠B＝∠C，
∴△DEF∽△ECF，∴∠DFE＝∠CFE， ∴FE平分∠DFC.
12．如图所示，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF. 求证：(1)四边形ABCD是平行四边形；
2
(2)OA＝OE·OF.
第12题图
证明：(1)∵EC∥AB， ∴∠ABF＝∠C. ∵∠EDA＝∠ABF，
∴∠C＝∠EDA，AD∥CF. 又∵EC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形． (2)∵AB∥EC，∴△OAB∽△OED， OAOB∴＝. OEOD
∵BF∥AD，∴△OFB∽△OAD， OFOB∴＝， OAOD
OAOF2
∴＝，即OA＝OE·OF. OEOA
C 开拓新思路 拓展创新 13．学习“图形的相似”后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件．
(1)“对于两个直角三角形，满足一边、一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等．”类似地，你可以得到“满足__一个锐角对应相等__，或__两条直角边对应成比例__，两个直角三角形相似”．
(2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．”类似地，你可以得到“满足__斜边和一条直角边对应成比例__的两个直角三角形相似”．请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程．
已知：如图，____．
求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
第13题图
ABAC
解：(2)在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，＝
A′B′A′C′ABAC
证明：设＝＝k，则AB＝kA′B′，AC＝kA′C′，
A′B′A′C′在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
BC
＝B′C′∴
AB－AC22＝A′B′－A′C′
22
kA′B′－kA′C′
22＝k. A′B′－A′C′
2222
ABACBC
＝＝. A′B′A′C′B′C′
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
2024年秋九年级数学上册第4章相似三角形4.4两个三角形相似的判定3练习新版浙教版
