。 江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题
(184)(无答案)
第一试
一、填空题(每小题8分,共64分)
1. 已知定义在复数f(z)?(4?i)z?pz?q集上的函数(p、q为复数).若f(1)与f(i)均为实数,则p?q的最小值为.
22. 已知函数f(x)asinx?bcosx(a、b?Z),且满足xf(x)?0?xf(f(x))?0.则
????a的最大值为.
3. 已知三棱锥S?ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,且
SA?SB?SC?AB?2.则三棱锥S?ABC外接球表面积为.
?x3?24. 记F(x,y)?(x?y)????(y?0).则F(x,y)的最小值为.
?3y?5. 设任意实数a?b?c?d?0.要使
2loga2014?logc2014?logd2014?mlogd2014恒成立,则m的最小值 为.
bbca6. 设
f(x)是定义在R上的函数,对任意的x?R,均有
f(x?3)?f(x)?3,f(x?2)?f(x)?2.设g(x)?f(x)?x.若f(4)?2014则f(2014)?.
7. 若非负整数m、n在求和时恰进位一次(十进制下),则称有序数对(m,n)为“好的”.那么,所有和为2014的好的有序数对的个数为.
2222228. 已知非负实数u、v、w满足u?v?w?2.则uv?vw?wu的取值范围是.
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二、解答题(共56分)
n9.(16分)设数列?an?满足a1?1,an?1?2an?n(1?2)(n?1,2,).试求通项的表达式.
10.(20分)如图1,已知A(?1,0),B(1,0),Q、G分别为?ABC的外心、重心,QG‖AB.
(1)求点C的轨迹E的方程.
(2)设(1)中的轨迹E与y轴的两个交点为A1、A2(A1位于A2下方),动点M、N均在轨迹E上,且满足A1M?A1N,试问直线A1N与A1M的交点P是否恒在某条定直线l上?若是,求出直线l的方程;若不是,请说明理由.
11.(20
?.求三元函数分)设x、、均取正实数,且x?y?z1yz23x2?x3y?y32z?zf(x,y,?z)??的最小值,并给出证明.
1?x21?y21?z2 - 2 -
加 试
一、(40分)如图2,在?ABC中,AB?AC,H为?ABC的垂心,M为边BC的中点,点S在边BC上且满足?BHM??CHS,点A在直线HS上的投影为P.证明:?MPS的外接圆与?ABC的外接圆相切.
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nAn?2(n?1)2k(n?1,2,).证明:当n?1时,二、(40分)设k?Z,定义:A1?1,An?1?n?2An为整数,且An为奇数当且仅当n?1或2(mod4).
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三、(50分)已知x、y、z?1,2?.证明:并指出等号成立的条件.
?11111811?????6????,xyzx?y?zy?zz?xx?y?? - 5 -
四、(50分)证明:存在由2014个正整数组成的集合S,具有下面性质:若集合S的子集A满足对任意a、a??A,a?a?,均有a?a??S,则A?152.
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江西省上饶县中学2017 - 2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(184)(无答案)
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