。 江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题
（184）（无答案）
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1. 已知定义在复数f(z)?(4?i)z?pz?q集上的函数（p、q为复数）.若f(1)与f(i)均为实数，则p?q的最小值为.
22. 已知函数f(x)asinx?bcosx(a、b?Z)，且满足xf(x)?0?xf(f(x))?0.则
????a的最大值为.
3. 已知三棱锥S?ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且
SA?SB?SC?AB?2.则三棱锥S?ABC外接球表面积为.
?x3?24. 记F(x,y)?(x?y)????(y?0).则F(x,y)的最小值为.
?3y?5. 设任意实数a?b?c?d?0.要使
2loga2014?logc2014?logd2014?mlogd2014恒成立，则m的最小值 为.
bbca6. 设
f(x)是定义在R上的函数，对任意的x?R，均有
f(x?3)?f(x)?3,f(x?2)?f(x)?2.设g(x)?f(x)?x.若f(4)?2014则f(2014)?.
7. 若非负整数m、n在求和时恰进位一次（十进制下），则称有序数对(m,n)为“好的”.那么，所有和为2014的好的有序数对的个数为.
2222228. 已知非负实数u、v、w满足u?v?w?2.则uv?vw?wu的取值范围是.
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二、解答题（共56分）
n9.（16分）设数列?an?满足a1?1,an?1?2an?n(1?2)(n?1,2,).试求通项的表达式.
10.（20分）如图1，已知A(?1,0),B(1,0)，Q、G分别为?ABC的外心、重心，QG‖AB.
（1）求点C的轨迹E的方程.
（2）设（1）中的轨迹E与y轴的两个交点为A1、A2（A1位于A2下方），动点M、N均在轨迹E上，且满足A1M?A1N，试问直线A1N与A1M的交点P是否恒在某条定直线l上？若是，求出直线l的方程；若不是，请说明理由.
11.（20
?.求三元函数分）设x、、均取正实数，且x?y?z1yz23x2?x3y?y32z?zf(x,y,?z)??的最小值，并给出证明.
1?x21?y21?z2 - 2 -
加 试
一、（40分）如图2，在?ABC中，AB?AC，H为?ABC的垂心，M为边BC的中点，点S在边BC上且满足?BHM??CHS，点A在直线HS上的投影为P.证明：?MPS的外接圆与?ABC的外接圆相切.
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nAn?2(n?1)2k(n?1,2,).证明：当n?1时，二、（40分）设k?Z，定义：A1?1,An?1?n?2An为整数，且An为奇数当且仅当n?1或2(mod4).
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三、（50分）已知x、y、z?1,2?.证明：并指出等号成立的条件.
?11111811?????6????，xyzx?y?zy?zz?xx?y?? - 5 -
四、(50分)证明：存在由2014个正整数组成的集合S，具有下面性质：若集合S的子集A满足对任意a、a??A,a?a?，均有a?a??S，则A?152.
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江西省上饶县中学2017 - 2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(184)（无答案）
