专题14 角平分线问题
1.角的平分线定义：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=
1∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 2类似地，还有角的三等分线等.
2.作角平分线
角平分线的作法（尺规作图）
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点； ②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P； ③过点P作射线OP，射线OP即为所求．
3.角平分线的性质
（1）定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
符号语言：∵OP平分∠AOB，AP⊥OA，BP⊥OB，∴AP=BP.
（2）逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
符号语言：∵ AP⊥OA，BP⊥OB，AP=BP，∴点P在∠AOB的平分线上.
注意：三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.
说明：AD是ΔABC的角平分线?∠BAD＝∠DAC＝
1∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 2（1）三角形的角平分线是线段；
（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 4.角平分线的综合应用
（1）为推导线段相等、角相等提供依据和思路； （2）在解决综合问题中的应用．
【例题1】（2024?襄阳）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是（ ）
A．132°
B．128°
C．122°
D．112°
【对点练习】（2024长春模拟 ）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（ ）
A．44° B．40° C．39° D．38°
【例题2】（2024?随州）如图，点A，B，C在⊙O上，AD是∠BAC的角平分线，若∠BOC＝120°，则∠CAD的度数为 ．
【对点练习】（2024四川自贡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝ ．
专题14 角平分线问题(原卷版)
