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5.研究将鹿群放入草场后草和鹿两种群的相互作用。草的生长遵从Logistic规律，年固有增长率，最大密度为3000（密度单位），在草最茂盛时每只鹿每年可吃掉（密度单位）的草。若没有草，鹿群的年死亡率高达，而草的存在可使鹿的死亡得以补偿，在草最茂盛时补偿率为。作一些简化假设，用差分方程模型描述草和鹿两种群数量的变化过程，就以下情况进行讨论：
（1）比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的草场两种情况。 （2）适当改变参数，观察变化趋势。
解：设1．草独立生存，独立生存规律遵从Logistic规律；
2．草场上除了鹿以外，没有其他以草为食的生物； 3．鹿无法独立生存。没有草的情况下，鹿的年死亡率一定； 4．假定草对鹿的补偿率是草场密度的线性函数； 5．每只鹿每年的食草能力是草场密度的线性函数。
记草的固有增长率为r，草的最大密度为N，鹿独立生存时的年死亡率为d，草最茂盛时鹿的食草能力为a，草对鹿的年补偿作用为b；第k＋1年草的密度为
，鹿的数量为
，第k年草的密度为
，鹿的数量为
。
草独立生存时，按照Logistic规律增长，则此时草的增长差分模型为
，但是由于鹿对草的捕食作用，草的数量会减少，则满足如
下方程：
（
（1）
鹿离开草无法独立生存，因此鹿独立生存时的模型为
存在会使得鹿的死亡率得到补偿，则满足如下差分方程：
）
，但是草的
（
（2）
另外，记初始状态鹿的数量为
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）
，草场密度初值为 。
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各个参数值为：
，
，
，
，
利用MATLAB编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下：
%定义函数diwuti，实现diwuti-Logistic综合模型的计算，计算结果返回种群量 function B =diwuti(x0,y0,r,N,b,a,d,n) % 描述diwuti-Logistic综合模型的函数 x(1) = x0; % 草场密度赋初值 y(1) = y0; % 鹿群数量赋初值 for k = 1 : n;
x(k+1) = x(k) + r*(1-x(k)/N)*x(k) - a*x(k)*y(k)/N; y(k+1) = y(k) + (-d + b*x(k)/N)*y(k); end B = [x;y];
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all
C1 =diwuti (1000,100,,3000,,,,50); C2 = diwuti(3000,100,,3000,,,,50); k = 0 : 50;
plot(k,C1(1,:),'b',k,C1(2,:),'b',k,C2(1,:),'r',k,C2(2,:),'r',),... axis([0 50 0 3000]); xlabel('时间/年')
ylabel('种群量/草场：单位密度，鹿：头') title('图1.草和鹿两种群数量变化对比曲线') gtext('x0=1000')
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gtext('x0=3000') gtext('草场密度') gtext('鹿群数量')
》比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的草场两种情况（绘制曲如图1所示）：
由图中可以看到，蓝色曲线代表草场密度的初始值为1000时，两种群变化情况；而红色曲线则代表草场密度的初始值为3000时，两种群的变化情况。观察两种情况下曲线的演变情况，可以发现大约40-50年左右时间后，两种群的数量将达到稳定。
使用MatLab计算可以得到，当
衡点为（1800，600）。
为进一步验证此结论，下面通过改变相关参数，研究两种群变化情况，找到影响平衡点的因素：
（1）改变草场密度初始值；
，即两种群数量的平
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从图2中可以看到，改变草场的初始密度不会对两种群数量的平衡点造成影响。
（2）改变鹿的数量初值
由图2可以看到，鹿初始的数量的改变在理论上也不会改变最终种群数量的平衡值。
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但是，我们可以看到，y0=2000的那条曲线（紫色曲线），在5－15区间内降低到了非常小的值，这显然是不符合鹿的现实繁殖规律的，因为鹿的种群可持续繁殖的最小数量是存在域值的。当种群数量低于这个值时，在实际情况下，鹿的种群就要灭绝。
同样道理，草场的密度也存在一个最小量的域值，低于这个阈值，草也将灭绝。
综合上面分析，可以在此得出一个结论：最大密度一定的草场所能承载的鹿的数量存在上限。
（3）改变草场的最大密度N，画图比较结果；
如图4所示，如果草场密度的最大值N发生变化，则最终两种群数量的平衡点也会发生相应的变化。结论：N值越大，平衡点两种群的数量就越大；N越小，平衡点两种群的数量就越小。
（4）改变鹿群独立生存时的死亡率
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研究将鹿群放入草场后草和鹿两种群的相互作用
