教学资料范本 2024版高考数学二轮复习专题限时集训16不等式选讲理选修 编 辑：__________________ 时 间：__________________ 1 / 5 专题限时集训(十六) 选修4－5 不等式选讲 (建议用时：20分钟) 1．已知函数f(x)＝|a－3x|－|2＋x|. (1)若a＝2.解不等式f(x)≤3； (2)若存在实数a.使得不等式f(x)≥1－a＋2|2＋x|成立.求实数a的取值范围． ??x≤－2，[解](1)当a＝2时.不等式f(x)≤3即|2－3x|－|2＋x|≤3.则??2－3x＋2＋x≤3? 或2??－2＜x≤，3???2－3x－2－x≤3 2??x＞，或?3??3x－2－2－x≤3， 37解得－≤x≤. 42?37???. x－≤x≤所以不等式f(x)≤3的解集为42??(2)不等式f(x)≥1－a＋2|2＋x|等价于|a－3x|－3|2＋x|≥1－a.即|3x－a|－|3x＋6|≥1－a. 由绝对值不等式的性质知|3x－a|－|3x＋6|≤|(3x－a)－(3x＋6)|＝|a＋6|. 5若存在实数a.使得不等式f(x)≥1－a＋2|2＋x|成立.则|a＋6|≥1－a.解得a≥－.所2?5?以实数a的取值范围是?－，＋∞? . ?2?2．已知函数f(x)＝|x|－|x－3|(x∈R)． (1)求f(x)的最大值m； (2)设a.b.c为正实数.且2a＋3b＋4c＝m. 111求证：＋＋≥3. 2a3b4c－3，x≤0，??[解](1)法一：由f(x)＝?2x－3，0＜x＜3，??3，x≥3.知f(x)∈[－3,3].即m＝3. 法二：由绝对值不等式f(x)＝|x|－|x－3|≤|x－x＋3|＝3.得m＝3. 法三：由绝对值不等式的几何意义知f(x)＝|x|－|x－3|∈[－3,3](x∈R).即m＝3. (2)证明：∵2a＋3b＋4c＝3(a.b.c＞0). ∴1111?111?＋＋＝(2a＋3b＋4c)·?＋＋? 2a3b4c3?2a3b4c? 1??2a3b??2a4c??3b4c??＝?3＋?＋?＋?＋?＋?＋??≥3. 3??3b2a??4c2a??4c3b?? 2 / 5 当且仅当2a＝3b＝4c. 111即a＝.b＝.c＝时取等号. 234即111＋＋≥3. 2a3b4c3．已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|.a∈R. (1)若不等式f(x)＋|x－1|≥2对x∈R恒成立.求实数a的取值范围； (2)当a＜2时.函数f(x)的最小值为a－1.求实数a的值． ?a?[解] (1)f(x)＋|x－1|≥2可化为?x－?＋|x－1|≥1. ?2??a??a??a?∵?x－?＋|x－1|≥?－1?.∴?－1?≥1, 解得a≤0或a≥4. ?2??2??2?∴实数a的取值范围为(－∞.0]∪[4.＋∞)． a(2)函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|的零点为和1. 2a当a＜2时.＜1. 2??∴f(x)＝??a?x－a＋1?≤x≤1?，?2???3x－a－1x＞1，?a?－3x＋a＋1?x＜?，?2? a???a?易知f(x)在?－∞，?单调递减.在?，＋∞?单调递增. 2???2?a4?a?∴f(x)min＝f??＝－＋1＝a－1.解得a＝＜2. 23?2?4∴a＝. 3 3 / 5 内容 分段函数的图象含绝对值不等式的解法 押题依据 以含有两个绝对值的函数为背景.考查不等式的解法.考查分类讨论、数形结合思想、转化化归思想和应用意识. 【押题】 已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|. (1)求不等式f(x)≥3的解集； 9(2)若直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象所围成的多边形面积为.求实数a的值． 2?1?x＋2，－＜x＜1，2[解](1)由题意知f(x)＝?1－3x，x≤－，??2由f(x)≥3可知： (ⅰ)当x≥1时.3x≥3.即x≥1； 3x，x≥1， 11(ⅱ)当－＜x＜1时.x＋2≥3.即x≥1.与－＜x＜1矛盾.舍去； 221(ⅲ)当x≤－时.－3x≥3.即x≤－1. 2综上可知不等式f(x)≥3的解集为{x|x≤－1或x≥1}． 4 / 5 (2)画出函数y＝f(x)的图象.如图所示. ?13?其中A?－，?.B(1,3).由直线AB的斜率kAB＝1.知直线y＝x?22?＋a与直线AB平行.若要围成多边形.则a＞2. 易得直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象交于两点?a3a??a3a??aa?32a. C?，?.D?－，?.则|CD|＝2·?＋?＝?22??44??24?4|a－2|a－232平行线AB与CD间的距离d＝＝.|AB|＝. 222323233＋a＋a24a－2249∴梯形ABCD的面积S＝·＝·(a－2)＝(a＞2). 2222即(a＋2)(a－2)＝12.∴a＝4. 故所求实数a的值为4. 5 / 5
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