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习 题 四
4-1 一飞轮的半径为2m，用一条一端系有重物的绳子绕在飞轮上，飞轮可绕水平轴转动，飞轮与绳子无相对滑动。当重物下落时可使飞轮旋转起来。若重物下落的距离由方程x?at2给出，其中a?2.0ms2。试求飞轮在t时刻的角速度和角加速度。
[解] 设重物的加速度为at，t时刻飞轮的角速度和角加速度分别为?和?，则
因为飞轮与绳子之间无相对滑动，所以 at?R? 则 ??at2a2?2.0???2.0rad/s2 RR2 由题意知 t=0时刻飞轮的角速度?0?0
所以
???0??t??t?2.0trads
4-2 一飞轮从静止开始加速，在6s内其角速度均匀地增加到200radmin，然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制动，其角速度均匀减小。又过了5s后，飞轮停止转动。若该飞轮总共转了100转，求共运转了多少时间? [解] 分三个阶段进行分析
210 加速阶段。由题意知 ?1??1t1 和 ?1?2?1?1 得
20 匀速旋转阶段。 ?2??1t2
?12?1t3?3制动阶段。?1??3t3 ??2?3?3 ?3? 2?320
21由题意知 ?1??2??3?100 联立得到
?1t12??1t2??1t32?100?2?
2??100?所以 t2?2??2002??200?6??56060?183s 2??20060因此转动的总时间 t?t1?t2?t3?6?5?183?194s
4-3 历史上用旋转齿轮法测量光速的原理如下：用一束光通过匀速旋转的齿轮边缘的齿孔A，到达远处的镜面反射后又回到齿轮上。设齿轮的半径为5cm，边缘上的齿孔数为500个，齿轮的
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转速，使反射光恰好通过与A相邻的齿孔B。(1)若测得这时齿轮的角速度为600rs，齿轮到反射镜的距离为500 m，那么测得的光速是多大?(2)齿轮边缘上一点的线速度和加速度是多大? [解] (1) 齿轮由A转到B孔所需要的时间t?2?500?1 ??5?600?2?3?10 所以光速 c?2L2?500??3?108ms
1T3?105?22(2) 齿轮边缘上一点的线速度 v??R?5?10?600?2??1.88?10ms
2?252 齿轮边缘上一点的加速度 a??R??600?2???5?10?7.10?10ms
24-4 刚体上一点随刚体绕定轴转动。已知该点转过的距离s与时间t的关系为
s?a03a02t?t。求证它的切向加速度每经过时间?均匀增加a0。 6?2dvd2sa0??t?a0 [证明] 该点的切向加速度 at?dtdt2?所以 at?τ?at??0?t????a0???0t?a0??a0 ??????因此，切向加速度每经过时间?均匀增加a0
4-5 如图所示的一块均匀的长方形薄板，边长分别为a、b。中心O取为原点，坐标系如图所示。设薄板的质量为M，求证薄板对Ox轴、Oy轴和Oz轴的转动惯量分别为 [解] 根据转动惯量的定义 J?r2dm
?a??a??对Jox 取图示微元，有 Jox?同理可得 Joy?112dmb?mb2 ?m12121ma2 12对于 Joz?r2dm?(x2?y2)dm?x2dm????2y?dm
4-6 一个半圆形薄板的质量为m、半径为R，当它绕着它的直径边转动时，其转动惯量是多大? [解] 建立坐标系，取图示面积元 ds?rdrd?，根据转动惯量的定义有
4-7 一半圆形细棒，半径为R，质量为m，如图所示。求细棒对轴AA?的转动惯量。 [解] 建立图示的坐标系，取图示dl线元，dm??dl??Rd?，
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根据转动惯量的定义式有
4-8 试求质量为m、半径为R的空心球壳对直径轴的转动惯量。 [解] 建立如图所示的坐标系，取一????d?的球带，
ds?2?rRd?它对y轴的转动惯量
又 r?Rcos?
yr?mR2所以 dI?cos3?d?
2此即空心球壳对直径轴的转动惯量。
4-9 图示为一阿特伍德机，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳的
0x两端分别系有质量为m1和m2的物体，且m1>m2。设定滑轮是质量为M，半径为r的圆盘，绳的质量及轴处摩擦不计，绳子与轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。
[解] 物体m1,m2及滑轮M受力如图所示
对m1:对m2:对M:m1g?T1?m1a (1) T2?m2g?m2a (2)
??T1r?T2r?J? (3)
又 J?Mr2/2 (4)
a?r? (5)
?T1?T1 (6)
T2?T2 (7)
联立（1）-（7）式，解得
4-l0 绞车上装有两个连在一起的大小不同的鼓轮(如图)，其质量和半径分别为m=2kg、r=0.05m，M=8kg、R=0.10m。两鼓轮可看成是质量均匀分布的圆盘，绳索质量及轴承摩擦不计。当绳端各受拉力T1=1 kg，T2=2kg时，求鼓轮的角加速度。 [解] 根据转动定律，取顺时针方向为正
?T1r?T2R?J? J?mr2/2?MR2/2
联立(1)，(2)式可得
(1)
? (2)
4-11 质量为M、半径为R的转盘，可绕铅直轴无摩擦地转动。转盘的初角速度为零。一个质量为m的人，在转盘上从静止开始沿半径为r的圆周相对圆盘匀角速走动，如果人在圆盘上走了
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一周回到了原位置，那么转盘相对地面转了多少角度?
[解一] 取m和M组成的系统为研究对象，系统对固定的转轴角动量守恒。设人相对圆盘的速度为v，圆盘的角速度为?，设人转动方向为正方向，则 mr(v??r)?J??0
而 J?MR/2 联立（1）、（2）式可得 人在转盘上走一周所用的时间t转盘转过的角度为
2(1) (2)
?2?r/v
mr2???t??2? 负号表示方向与正方向相反。 22MR/2?mr[解二]
由角动量守恒定律可解（见上） 又因为 ??所以?s?2?r代入即可
4-12 如图所示，一质量为m的圆盘形工件套装在一根可转动的轴上，它们的中心线相互重合。圆盘形工件的内、外直径分别为D1和D2。该工件在外力矩作用下获得角速度?0，这时撤掉外力矩，工件在轴所受的阻力矩作用下最后停止转动，其间经历了时间t。试求轴处所受到的平均阻力f[轴的转动惯量略而不计，圆盘形工件绕其中心轴的转动惯量为
d?,dtv?ds dt1m?D12?D22?]。 8[解] 根据角动量定理 Mt?I?2?I?1
22联立上述三式得到 f?m?0D1?D2(4D1)t
??4-13 一砂轮直径为1m，质量为50kg，以900rmin的转速转
动，一工件以200 N的正压力作用于轮子的边缘上，使砂轮在11.8s内停止转动。求砂轮与工件间的摩擦系数(砂轮轴的摩擦可忽略不计，砂轮绕轴的转动惯量为砂轮的质量和半径)。
[解] 根据角动量定理， Mt?I?2?I?1
1mR2，其中，m和R分别为2联立上述四式得到 ??mR?0?2Nt50?12??900?260?0.5 2?200?11.84-14 以20N?m的恒力矩作用于有固定轴的转轮上，在10s内该轮的转速由零增大到
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100rmin。此时撤去该力矩，转轮因摩擦力矩的作用，又经100s而停止，试求转轮的转动惯量。
[解] 设转轮的转动惯量为J，摩擦力矩为Mf，则根据角动量定理
考虑到本题力矩为常矢量，以外力矩方向为正方向，有 (M?Mf)t1?J??0 ?Mft2?0?J? 联立(1)、(2)式可得
(1) (2)
?0tMdt??dL
L1L24-15 设流星从各个方向降落到某星球，使该星球表面均匀地积存了厚度为h的一层尘埃(h比该星球的半径R小得多)。试证明：由此而引起的该星球自转周期的变化为原来的自转周期的
5hd?RD?倍。式中R是星球的半径，D和d分别为星球和尘埃的密度。
[解] 取星球和尘埃为研究对象，在尘埃落向星球的过程中，系统的角动量守恒。设开始时星球的转动惯量为J1，角动量为?1，星球的自转周期为T1；当落上厚度为h的尘埃后，转动惯量为
J2，角速度为?2，自转周期为T2，由角动量守恒得：
而 T1?2??1 T2?2??2
得到
设尘埃对自转轴的转动惯量为J0，则 J2?J1?J0 而 J1?243??RDR2 53 因此 J0?2?443?23???R?h??R?dR 5?33??2?443?23???R?h??R?dR3J0T25?1?hR??1d3?33?? 所以 ?1??1??1?243T1J13D??RDR253?? 又因为 h< T253dhR5hd?1??1? T13DRD 因此 T2?T15hd? T1RD5文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
大学物理2-1第四章(刚体力学)习题答案
