第一章 质点运动学习题
1-4一质点在xOy平面上运动，运动方程为
x=3t+5, y=
12
t+3t-4.（SI） 2(式中t以 s计，x,y以m计．)
(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；
(2)求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，并计算这1秒内质点的位移； (3)计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；
(4)求出质点速度矢量表示式，并计算t＝4 s 时质点的速度； (5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；
(6)求出质点加速度矢量的表示式，并计算t＝4s 时质点的加速度。
(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．
v12vvvv解：（1）质点位置矢量 r?xi?yj?(3t?5)i?(t?3t?4)jm
2(2)将t?1,t?2代入上式即有
v1vvvvrt?1s?[(3?1?5)i?(?12?3?1?4)j]m?(8i?0.5j)m
2r1rvvvrt?2s?[(3?2?5)i?(?22?3?2?4)j]m?(11i?4j)m
2rrrvvvvvv?r?rt?2s?rt?1s?(11i?4j)m?(8i?0.5j)m?(3i?4.5j)m (3) ∵
r1rrvvrt?0s?[(3?0?5)i?(?02?3?0?4)j]m?(5i?4j)m2
rrvv1vrt?4s?[(3?4?5)i?(?42?3?4?4)j]m?(17i?16j)m2vvvvvvvvvv?rrt?4s?rt?0s(17i?16j)?(5i?4j)??m?s?1?(3i?5j)m?s?1 ∴ v??t4?04vr1rvvvdrd(4) v??[(3t?5)i?(t2?3t?4)j]?[3i?(t?3)j]m?s?1
dtdt2rrvv?1则 vt?4s?[3i?(4?3)j]m?s?(3i?7j) m?s?1
vvv(5)∵ vt?0s?(3i?3j)m?s?1,vvvvt?4s?(3i?7j)m?s?1
m?s?2
vvvvvvvvv?vvt?4s?vt?1s(3i?7j)?(3i?3j)?2??m?s?1j ∴ a??t44vvvvdvdv?[3i?(t?3)j]?1jm?s?2 (6) a?dtdt这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。
1-5 已知一质点做直线运动，其加速度为 a＝4+3t （SI），开始运动时，x＝5 m，v =0，求该质点在t＝10s 时的速度和位置．
解：∵ a?dv?4?3t dt分离变量，得 dv?(4?3t)dt 积分，得 v?4t?由题知，t?0,v0?0 ,∴c1?0
32t?c1 232t 2dx3又因为 v??4t?t2
dt232分离变量， dx?(4t?t)dt
2132积分得 x?2t?t?c2
2故 v?4t?由题知 t?0,x0?5 ,∴c2?5 故 x?2t?所以t?10s时
213t?5 2v10?4?10?3?102?190m?s?12
1x10?2?102??103?5?705m2
31-8 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 ?=2+3t，?式中以弧度计，t以秒计， (1) t＝2 s时，质点的切向和法向加速度；
(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?
解： ??d??9t2,??d??18t
dtdt?2a?R??1?18?2?36m?st?2s? (1)时，
an?R?2?1?(9?22)2?1296m?s?2 (2)当加速度方向与半径成45角时，有
tan45??a??1an
ο2R??R? 即
22(9t)?18t 亦即
则解得
于是角位移为
t3?29 2?2.679rad
??2?3t3?2?3?
1-12质点的运动方程为：x?at,y?b?ct2,a、b、c均为常数，当质点的运动方向与x轴成45°角时，求质点此时运动速率的大小。
dxd解： vx??(at)?a
dtdt当质点的运动方向与x轴成45°角时，
vy?tan45? vx
vy?vxtan45??a?1?a质点此时运动速率为
v?vx?vy?22a2?a2?2a
v0(m·s?1)的速率收
1-13在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如图所示．当人以绳时，试求船运动的速度和加速度的大小。
解： 设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成?角，由图可知
222 l?h?s
将上式对时间t求导，得
dlds?2sdt dt根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的，
dldsv绳???v0,v船??dtdt ∴
2l
vdsldll???v0?0dtsdtscos? 即
lv0(h2?s2)1/2v0v船??ss或
v船??将v船再对t求导，即得船的加速度
dlds?ldv?v0s?lv船a?船?dt2dtv0?v02dtssl22(?s?)v02h2v0s??32ss
s或：
质点沿直线运动，初速度v0 ,加速度a??kv，k为正常数，求：(1)质点完全静止所需时间；
(2)这段时间内运动的距离。 解:(1) a??kv dvdt??kv分离变量得dvv??kdt积分?0dv?tv?kdt0v?0
得：?2v
0??ktt?2v0k
1-14
大学物理上册期末考试重点例题
