（2）当0?N?Nm时,数；
?dNN????r?1?N?0,这说明N(t)是时间t的单调递增函?dt?Nm?Nmd2Nd2NN??2N?dN2??????0N?（3）由于,所以当时,,单增；?r1?1?N22????2dtdtdt?Nm??Nm?NmNmd2NdNdN?0当N?时,,单减,即人口增长率由增变减,在处最大,也就是说
22dt2dtdt在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早
会达到零,这是减速生长期；
（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是Nm不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, Nm的值也就越大；
(5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计,r?0.029,又当人口总数为3.06?10时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得
9?1dNN??, ?r?1???Ndt?Nm??3.06?109??即 0.02?0.029?, ?1??Nm??9从而得 Nm?9.86?10,
即世界人口总数极限值近100亿.
值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用.
二、市场价格模型
对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.
例3 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型
解 假设在某一时刻t,商品的价格为p(t),它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格p(t)的变化率
dp与需求和供给之差成正比,并记f(p,r)dt为需求函数,g(p)为供给函数（r为参数）,于是
?dp????f?p,r??g?p??， ?dt?p(0)?p0，?其中p0为商品在t?0时刻的价格,?为正常数.
若设f(p,r)??ap?b,g(p)?cp?d,则上式变为
?dp????(a?c)p??(b?d)， ?dt ① ?p(0)?p0，?其中a,b,c,d均为正常数,其解为
p(t)??p0?下面对所得结果进行讨论:
??b?d???(a?c)tb?d?. ?ea?c?a?c（1）设p为静态均衡价格 ,则其应满足
f(p,r)?g(p)?0,
即 于是得p?
?ap?b?cp?d,
b?d,从而价格函数p(t)可写为 a?c p(t)?(p0?p)e??(a?c)t?p , 令t???,取极限得
t???limp(t)?p
这说明,市场价格逐步趋于均衡价格.又若初始价格p0?p,则动态价格就维持在均衡价格
p上,整个动态过程就化为静态过程；
（2）由于 所以,当p0?p时,
dp?(p?p0)?(a?c)e??(a?c)t , dtdpdp?0,p(t)单调下降向p靠拢；当p0?p时, ?0,p(t)单调增dtdt加向p靠拢.这说明：初始价格高于均衡价格时,动态价格就要逐步降低,且逐步靠近均衡价
格;否则,动态价格就要逐步升高.因此,式①在一定程度上反映了价格影响需求与供给,而需求与供给反过来又影响价格的动态过程,并指出了动态价格逐步向均衡价格靠拢的变化趋势.
三、混合溶液的数学模型
例4 设一容器内原有100L盐,内含有盐10kg,现以3L/min的速度注入质量浓度为0.01kg/L的淡盐水,同时以2L/min的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.
解 设t时刻容器内的盐量为x(t)kg,考虑t到t?dt时间内容器中盐的变化情况,在dt时间内
容器中盐的改变量?注入的盐水中所含盐量－抽出的盐水中所含盐量
容器内盐的改变量为dx,注入的盐水中所含盐量为0.01?3dt,t时刻容器内溶液的质量浓度为
x(t),假设t到t?dt时间内容器内溶液的质量浓度不变（事实上,容器内
100?(3?2)t的溶液质量浓度时刻在变,由于dt时间很短,可以这样看）.于是抽出的盐水中所含盐量为
x(t)2dt,这样即可列出方程
100?(3?2)tdx?0.03dt?即
2xdt,
100?tdx2x. ?0.03?dt100?t又因为t?0时,容器内有盐10kg,于是得该问题的数学模型为
2x?dx??0.03，??dt100?t ???x(0)?10,?这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为
9?104 x(t)?0.01(100?t)?. 2(100?t)下面对该问题进行一下简单的讨论,由上式不难发现:t时刻容器内溶液的质量浓度为
x(t)9?104, p(t)??0.01?100?t(100?t)3且当t???时,p(t)?0.01,即长时间地进行上述稀释过程,容器内盐水的质量浓度将趋于注入溶液的质量浓度.
溶液混合问题的更一般的提法是：设有一容器装有某种质量浓度的溶液,以流量V1注入
质量浓度为C1的溶液 （指同一种类溶液,只是质量浓度不同）,假定溶液立即被搅匀,并以
V2的流量流出这种混合溶液,试建立容器中质量浓度与时间的数学模型.
首先设容器中溶质的质量为x(t),原来的初始质量为x0 ,t =0时溶液的体积为V2,在dt时间内,容器内溶质的改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量,即
dx?C1V1dt?C2V2dt,
其中C1是流入溶液的质量浓度, C2为t时刻容器中溶液的质量浓度,C2?x，于是,有混合溶液的数学模型
V0?(V1?V2)t?dx??C1V1?C2V2， ?dt?x(0)?x0．?该模型不仅适用于液体的混合,而且还适用于讨论气体的混合.
四、振动模型
振动是生活与工程中的常见现象.研究振动规律有着极其重要的意义.在自然界中,许多振动现象都可以抽象为下述振动问题.
例5 设有一个弹簧,它的上端固定,下端挂一个质量为m的物体,试研究其振动规律. 解 假设（1）物体的平衡位置位于坐标原点,并取x轴的正向铅直向下（见图4）.物体的平衡位置指物体处于静止状态时的位置.此时,作用在物体上的重力与弹性力大小相等,方向相反；（2）在一定的初始位移x0及初始速度v0下,物体离开平衡位置,并在平衡位置附近作没有摇摆的上下振动；（3）物体在t时刻的位置坐标为x?x(t),即t时刻物体偏离平衡位置的位移；（4）在振动过程中,受阻力作用.阻力的大小与物体速度成正比,阻力的方向总是与速度方向相反,因此阻力为?hdx,h为阻尼系数；（5）当质点有位移x(t)时,假设所受dt的弹簧恢复力是与位移成正比的,而恢复力的方向总是指向平衡位置,也就是总与偏离平衡位置的位移方向相反,因此所受弹簧恢复力为?kx,其中k为劲度系数；（6）在振动过程中受外力f(t)的作用.在上述假设下,根据牛顿第二定律得
d2xdxm2??h?kx?f(x) , ①
dtdt这就是该物体的强迫振动方程.
由于方程①中, f(t)的具体形式没有给出,所以,不能对式 ①直接求解.下面我们分四种情形对其进行讨论.
1. 无阻尼自由振动
Ox图4
在这种情况下,假定物体在振动过程中,既无阻力、又不受外力 作用.此时方程①变为
d2x m2?kx?0 ,
dt令
k??2,方程变为 md2x2 2??x?0,
dt特征方程为 ????0, 特征根为
22?1,2??i?,
x?C1sin?t?C2cos?t,
?cos?t? 2?C12?C2?C2通解为 或将其写为
?C1 x?C?C?sin?t??C2?C212?2122?A?cos?sin?t?sin?cos?t?
?Asin(?t??)其中 A? ，2,sin??C12?C2C2C?C2122,cos??C1C?C2122.
2这就是说,无阻尼自由振动的振幅A?C12?C2,频率??k均为常数. m2.有阻尼自由振动
在该种情况下,考虑物体所受到的阻力,不考虑物体所受的外力.此时,方程①变为
d2xdxm2?h?kx?0,
dtdt令
kh??2,?2?,方程变为 mmd2xdx??2x?0, 2?2?dtdt特征方程为??2?????0,特征根 ?1,2????为如下三种情形：
22?2??2.根据?与?的关系,又分
(1)大阻尼情形, ?>?.特征根为二不等实根,通解为
常微分方程数学建模中的应用（免费版）
