常微分方程数学建模中的应用（免费版）

由天下分享时间：2025/1/16 3:33:48 加入收藏我要投稿点赞

常微分方程在数学建模中的应用

这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型

由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.

例1（马尔萨斯（Malthus）模型）英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.

解设时刻t的人口为N(t),把N(t)当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t到t??t时间段内,人口的增长量为

N(t??t)?N(t)?rN(t)?t,

并设t?t0时刻的人口为N0,于是

?dN??rN， ?dt

??N(t0)?N0．这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为

N(t)?N0er(t?t0),

此式表明人口以指数规律随时间无限增长.

模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为3.06?10,而在以后7年中,人口总数

9以每年2%的速度增长,这样t0?1961,N0?3.06?10 ,r?0.02,于是

9 N(t)?3.06?10e90.02(t?1961).

这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）．

但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.

例2（逻辑Logistic模型）马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地

球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.

1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数Nm,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而Nm就越大）,并假设将增长率等于r??1???N(t)??,即净增长率随着N(t)的增加而?Nm?减小,当N(t)?Nm时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.

解由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为

?dN?N???r?1?N，????dt?N0?

?N(t)?N，00?上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,

N(t)?Nm?Nm??r(t?t0)?1???1??eN?0?.

下面,我们对模型作一简要分析.

（1）当t??,N(t)?Nm,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值Nm；（2）当0?N?Nm时,数；

?dNN???r?1?N?0,这说明N(t)是时间t的单调递增函??dt?Nm?Nmd2Nd2NN??2N?dN2??????0N??r1?1?N（3）由于,所以当时,,单增；22????2dtdtNNdtm??m??NmNmd2NdNdN?0当N?时,,单减,即人口增长率由增变减,在处最大,也就是说222dtdtdt在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早

会达到零,这是减速生长期；

（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是Nm不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, Nm的值也就越大；

(5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计,r?0.029,又当人口总数

为3.06?10时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得

9?1dNN??, ?r?1???Ndt?Nm??3.06?109??即 0.02?0.029?, ?1??Nm??9从而得 Nm?9.86?10,

即世界人口总数极限值近100亿.

值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用.

二、市场价格模型

对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.

例3 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型

解假设在某一时刻t,商品的价格为p(t),它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格p(t)的变化率

dp与需求和供给之差成正比,并记f(p,r)dt为需求函数,g(p)为供给函数（r为参数）,于是

?dp????f?p,r??g?p??， ?dt?p(0)?p0，?其中p0为商品在t?0时刻的价格,?为正常数.

若设f(p,r)??ap?b,g(p)?cp?d,则上式变为

?dp????(a?c)p??(b?d)， ?dt ① ?p(0)?p0，?其中a,b,c,d均为正常数,其解为

p(t)??p0???b?d???(a?c)tb?d?. ?ea?c?a?c下面对所得结果进行讨论:

（1）设p为静态均衡价格 ,则其应满足

f(p,r)?g(p)?0,

即于是得p?

?ap?b?cp?d,

b?d,从而价格函数p(t)可写为 a?c p(t)?(p0?p)e??(a?c)t?p , 令t???,取极限得

t???limp(t)?p

这说明,市场价格逐步趋于均衡价格.又若初始价格p0?p,则动态价格就维持在均衡价格

p上,整个动态过程就化为静态过程；

（2）由于所以,当p0?p时,

dp?(p?p0)?(a?c)e??(a?c)t , dtdpdp?0,p(t)单调下降向p靠拢；当p0?p时, ?0,p(t)单调增dtdt加向p靠拢.这说明：初始价格高于均衡价格时,动态价格就要逐步降低,且逐步靠近均衡价格;否则,动态价格就要逐步升高.因此,式①在一定程度上反映了价格影响需求与供给,而需求与供给反过来又影响价格的动态过程,并指出了动态价格逐步向均衡价格靠拢的变化趋

势.

三、混合溶液的数学模型例4 设一容器内原有100L盐,内含有盐10kg,现以3L/min的速度注入质量浓度为0.01kg/L的淡盐水,同时以2L/min的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.

解设t时刻容器内的盐量为x(t)kg,考虑t到t?dt时间内容器中盐的变化情况,在dt时间内

容器中盐的改变量?注入的盐水中所含盐量－抽出的盐水中所含盐量

容器内盐的改变量为dx,注入的盐水中所含盐量为0.01?3dt,t时刻容器内溶液的质量浓度为

x(t),假设t到t?dt时间内容器内溶液的质量浓度不变（事实上,容器内

100?(3?2)t的溶液质量浓度时刻在变,由于dt时间很短,可以这样看）.于是抽出的盐水中所含盐量为

x(t)2dt,这样即可列出方程

100?(3?2)tdx?0.03dt?即

2xdt,

100?tdx2x. ?0.03?dt100?t又因为t?0时,容器内有盐10kg,于是得该问题的数学模型为

2x?dx??0.03，??dt100?t ???x(0)?10,?这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为