2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(二)》试题及答案

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f(x)?f(0)?limx?0x?0xx1??1 ＝limxsin?0 （7分）

x?0x f?(0)?lim所以当??1时，f(x)在点x?0可导. （8分） 4．[本题8分] 若函数f(x)?解： f(x)?xx?sin1x （6分）

?x0(x?t)f(t)dt?ex，求f(x).

?x0f(t)dt??tf(t)dt?ex

0xxx上式两边关于x求导数

f?(x)??x0f(t)dt?xf(x)?xf(x)?e，f?(x)??f(t)dt?ex （1分）

0f??(x)?f(x)?ex （ 2分）

记 y?f(x)，则上式是二阶常系数非齐次微分方程 ，即y???y?e （I）

xy???y?0的通解是y*?C1ex?C2e?x，C1,C2为任意常数。 （3分）

x2由于??1是y???y?0的特征方程 r?1?0的单根，所以设y?axe是方程

（I）的一个特解，

于是有 y?ae?axe与 y?2ae?axe

?xx??xx1 （4分） 21xx?x于是方程（I）的通解为y?C1e?C2e?xe，（II）

2将它们代入方程（I）得 a?这里C1,C2为任意常数.

从已知条件可求得，f(0)?1，f?(0)?1并代入方程（II） （5分）

?f(0)?C1?C2?1?得?1?f(0)?C?C??112??2解得 C1?

31,C2? （7分） 443x1?x1x所求函数f(x)?e?e?xe （8分）

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