高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总
编者：邬小军
【知识汇编】
x?x0?tcos?参数方程：直线参数方程：?(t为参数) ??y?y0?tsin?(x0,y0)为直线上的定点， t为直线上任一点
(x,y)到定点(x0,y0)的数量；
x?a?rcos?圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：?(?为参数)(a,b)为圆心，r为半径； ??y?b?rsin?x?acos?椭圆x2?y2?1的参数方程是?(?为参数)； ?22ab?y?bsin?x2y2x?asec?双曲线2-2?1的参数方程是?(?为参数)； ?ab?y?btan?x?2pt抛物线y2?2px的参数方程是?(t为参数) ??y?2pt2极坐标与直角坐标互化公式：
若以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，点P的极坐标为(?,?)，直角
y坐标为(x,y)，则x??cos?, y??sin?, ?2?x2?y2, tan??x。
【题型1】参数方程和极坐标基本概念
1．点M的直角坐标是(?1,3)，则点M的极坐标为（ C ）
?2???A．(2,) B．(2,?) C．(2,) D．(2,2k??),(k?Z)
33332．圆??5cos??53sin?的圆心坐标是（ A ）
A．(?5,?4???5?) B．(?5,) C．(5,) D．(?5,) 33333．已知P为半圆C： （?为参数，0????）上的点，点A的坐标为（1,0），
?O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为3。
1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标； 2）求直线AM的参数方程。
??解：1）由已知，M点的极角为
??3，且M点的极径等于
3，
故点M的极坐标为（
3，
?,3）.
），A（0,1），故直线AM的参数方程为
1
2）M点的直角坐标为（6
3?6??x?1?(?1)t?6???y?3?t?6?（t
为参数）
??x?2?5cos????y?1?5sin?4．已知曲线C的参数方程为
(?为参数)，
以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 1)求曲线c的极坐标方程
2)若直线l的极坐标方程为?(sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。
??x?2?5cos???y?1?5sin?解：(1)∵曲线c的参数方程为? (α为参数)
∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5
?x??cos??将?y??sin? 代入并化简得：?=4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为?=4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0
2∴圆心c到直线l的距离为d=2=2∴弦长为25?2=23 .
5．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已
知曲线C1的极坐标方程为ρ＝22sin（θ＋4），曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＝a（a＞0），射线θ＝?，θ＝?＋4，θ＝?－点O的四点A，B，C，D．
（1）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程； （2）求｜OA｜·｜OC｜＋｜OB｜·｜OD｜的值．
??4?，θ＝2＋?与曲线C1分别交异于极
?(x?1)?(y?1)?2， C2：y?a， 解：（1）C1：
因为曲线C1关于曲线C2对称，a?1，C2：y?1 （2）
|OA|?22sin(??22?)4；
|OB|?22sin(???2)?22cos?
|OC|?22sin?，
2
|OD|?22sin(??3??)?22cos(??)44
|OA|?|OC|?|OB|?|OD|?42
【题型2】直线参数方程几何意义的应用
x?1?3t1．已知直线l1:?(t为参数)与直线l2:2x?4y?5相交于点B，又点A(1,2)，则AB???y?2?4t22x??2?t(x?3)?(y?1)?25所截得的弦长为（ C ） 2．直线?被圆(t为参数)?52。
?y?1?t1A．98 B．40 C．82 D．93?43 41?x??2?t?2???y?2?3txOy中，?2（t为参数）直线l的参数方程为?，直线l与曲线C3．在平面直角坐标系：
(y?2)2?x2?1交于A，B两点.
（1）求
AB的长；
3????22,?4?，求轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为?（2）在以O为极点，x点P到线段AB中点M的距离.
1?x??2?t，?2???y?2?3t，?2的参数方程为?（t
解：（1）直线l为参数），
2代入曲线C的方程得t?4t?10?0．
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1?t2??4，t1t2??10， 所以|AB|?|t1?t2|?214．
2)， （2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P的直角坐标为(?2，t1?t2??22所以点P在直线l上，中点M对应参数为，
由参数t的几何意义，所以点P到线段AB中点M的距离|PM|?2． 4．已知直线l经过点P(1,1),倾斜角???，
6（1）写出直线l的参数方程。
（2）设l与圆x2?y2?4相交与两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积。
3
x?1?tcos，即?x?1?解：（1）直线的参数方程为???6??y?1?tsin??6????3t 2??y?1?1t??2321t)?(1?t)2?4,t2?(3?1)t?2?0 22?3x?1?t代入x2 （2）把直线??2??y?1?1t??2?y2?4得(1?t1t2??2，则点P到A,B两点的距离之积为2
5．设经过点P(?1,0)的直线l交曲线A、B两点．
（1）写出曲线C的普通方程；
o（2）当直线l的倾斜角??60时，求|PA|?|PB|与|PA|?|PB|的值．
x2y2??1C43解：（1）：．
1?x??1?t?2???y?3t?2（2）设l：???x?2cos???y?3sin?(?为参数)于C：?（t为参数）
22联立得：5t?4t?12?0
|PA|?|PB|?|t1?t2|??t1?t2??4t1t2?1612|PA|?|PB|?|t1t2|?5，5
6．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标
??(3,)为(1,2)，点M的极坐标为2，若直线l过点P，且倾斜角为6，圆C以M为圆心，3为半径．
（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程； （2）设直线l与圆C相交于A,B两点，求
?x?1?????y?2??解：（1）直线l的参数方程为?3t,21t,2PA?PB．
(t为参数），（答案不唯一，可酌情给分）
圆的极坐标方程为??6sin?.
?x?1?????y?2??（2）把?3t,212t,x2代入
?(y?3)2?9，得t2?(3?1)t?7?0，
?t1t2??7，设点A,B对应的参数分别为t1,t2， 则PA?t1,PB?t2,?PA?PB?7.
7．以平面直角坐标系的坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的
4
?x?2?3t?l长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线的参数方程为?y??1?2t（t为参数），曲线C的极
2?sin??4cos?. 坐标方程为
(1)求曲线C的直角坐标方程； (2)设直线l与曲线C相交于A、B两点，求
AB.
2222?sin??4cos??sin??4?cos?yCQ?解：(1)由，既 曲线的直角坐标方程为?4x.
t?t??2(2)Ql的参数方程为代入y?4x，整理的4t?8t?7?0，所以12，
22t1t2??74
所以
AB?(?3)2?22t1?t2?13?(t1?t2)2?4t1t2?13?4?7?143.
【题型3】两类最值问题
x2?y2?1C1．已知曲线：9，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的
极坐标方程为
??sin(??)?24. （1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程； （2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.
?x?3cos??C解：（1）曲线的参数方程为?y?sin?（?为参数）， 直线l的直角坐标方程为x?y?2?0 （2）设P(3cos?,sin?)，
d?3cos??sin??22?10cos(???)?22P到直线l的距离
（其中?为锐角，且
tan??13）
当cos(???)?1时，P到直线l的距离的最大值dmax?5?2 2．已知曲线C的极坐标方程为2?sin???cos?（1）求曲线
C1?x?3cos?C1:??10，曲线?y?2sin?（?为参数）．
的普通方程；
C1（2）若点M在曲线上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．
x2y2??1C194解：（1）曲线的普通方程是：
（2）曲线C的普通方程是：x?2y?10?0 设点M(3cos?,2sin?)，由点到直线的距离公式得：
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