牛吃草问题经典例题

牛吃草问题经典例题

一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有

12个人

淘水，3小时可以淘完；如果只有 5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘 完？

解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于 “牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为

1，按以下步骤计算：

（1 ）求每小时进水量

因为，3小时内的总水量= 1 X 12 X 3 =原有水量时进水量

10小时内的总水量=

1 X 5 X 10 =原有水量小时进水量

所以，（10 — 3）小时内的进水量为

1 X 5 X 10 — 1 X 12 XI43 =

因此，每小时的进水量为 14 +（10 — 3 ）= 2

（2）求淘水前原有水量

原有水量=

1 X 12 X 小时进水量=36 — 2 X 3 =0

（3 ）求17人几小时淘完

17人每小时淘水量为17,因为每小时漏进水为 2，所以实际上船中每小时减少的水量 为（2 ），所以17人淘完水的时间是

30 +（17 — 2 ）= 2 （小时）

17 —

答：17人2小时可以淘完水。

1、 在一片牧场里，放养 4头牛，吃6亩草，18天可以吃完：放养 6头牛，吃10亩草，

30天可以吃完，请问放入多少头牛，吃 中的原草量相同，且每天草的生长两相等）

8亩草，24天可以吃完？（假定这片牧场每亩

2、 有快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶路上的一个骑车人。这三辆 车分別用6小时、10小时、12小时追上骑车人。現在知道快车每小时走 每小时走20千米，那么，慢速車每小時走多少千米？

24千米，中速車

提示：找到题中的“牛”与“草”，你就成功了一半。

3、 某游乐场在开门前已经有 100个人排队等待，开门后每分钟来的游人数是相同的，一个 入口处每分钟可以放入 10名游客，如果开放 2个入口 20分钟后就没有人排队，现在开放 8个入口处，没分钟关闭一个门，那么开门后几分钟就没人排队了？

提示：解答出“原来一共的人”和“每分钟来的人”后，要结合我们很擅长的等差数列 问题来解决。

序章：问题提岀

我将“牛吃草”归纳为两大类，用下面两个例题来说明

例1.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供 27头牛吃6天，或供23头牛吃9天。那么它可供21头牛 吃几天？ 例2.有三块草地，面积分别为 5, 6和8公顷?草地上的草一样厚，而且长得一样快?第一块草地可供 11头牛吃10天，第二块草地可供 12头牛吃14天?问：第三块草地可供 19头牛吃多少天？

分析与解：例1是在同一块草地上，例 2是三块面积不同的草地.（这就两者本质的区别） 第一章：核心思路

[普通解法请参考上面三位前辈的帖子。我没把链接做好，不好意思 现在来说我的核心思路：

]

例 1.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供 27 头牛吃 6 天，或供 23 头牛吃 9 天。那么它可供 21 头牛吃几 天？ 将它想象成一个非常理想化的数学模型：假设 27 头牛中有 X 头是“剪草工”

，这X头牛只负责吃“每天新长出的草，并且把它们吃完”，这样以来草场相当于不长草，永远维持原来 的草量，而剩下的（27 -X）头牛是真正的“顾客”，它们负责把草场原来的草吃完。 键） 例 1：

解:设每天新增加草量恰可供 X头牛吃一天,21牛可吃Y天（后面所有X均为此意） 可供27头牛吃6天，列式：（27 — X）?注：（27 — X）头牛6天把草场吃完

可供23头牛吃9天，列式：（23 — X）?注:（23 — X）头牛9天把草场吃完 可供21头牛吃几天？列式：（21 — X） ?注:（21 — X）头牛Y天把草场吃完 因为草场草量已被“清洁工”修理过，总草量相同，所以，联立上面 1、2、3 (27 —X)? (27 —X)?

6 =23 — X )? 9 =21 —

X )?

6 =23 — X )? 【9 1】

Y

（请慢慢理解，这是关

(23 — X )? 9 =21 — X )? 【Y 2】 解这个方程组，得 X = 15 （头）

Y= 12 （天）

例 2：有三块草地，面积分别为 5，6 和 8 公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供 11 头牛吃 10天，第二块草地可供 12 头牛吃 14天．问：第三块草地可供 19 头牛吃多少天？

解析：现在是三块面积不同的草地．为了解决这个问题，需要将三块草地的面积统一起来． 不同时得解题关键）

求【5，6，8】得最小公倍数为 120

1、 因为5公顷草地可供11头牛吃10天，120 - 524，所以120公顷草地可供11*24 = 264（头）牛吃10 天． 2、 因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120 - 624，所以120公顷草地可供12*20 = 240（头）牛吃14 天． 3、 120 - 8 45，问题变为：120公顷草地可供 19*15 = 285（头）牛吃几天？ 这样一来，例 2 就转化为例 1，同理可得：

（264 — X ）? 10 =240 — X）? 14 =285 — X ）? Y （264 — X ）? 10 =240 — X）? 14【1 】 （240 — X ）? 14 =285 — X）?Y

【2 】

（这是面积

解方程组： X=180 （头） Y=8 （天） 典型例题“牛吃草”已介绍完毕。

第二章：“牛吃草”变型 以下几道题目都是“牛吃草”的变型，解法和上面我讲的一摸一样，因为我在前边写的很详细了，所以下 面的例题不再给出详解，略作说明即可。请大家自行验证。

例 3 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5天，或可供 15 头牛吃 6天．照此计算，可供多少头牛吃 10 天？ 解析：本题的不同点在草匀速减少，不管它，和前边设

X、Y 一样来理想化，解出的 X为负数（无所谓，

因为X是我们理想化的产物，没有实际意义），解出Y为我们所求。

例 4 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着， 两位性急的孩子要从扶梯上楼． 已知男孩每分钟走 20 级梯级， 女孩每分钟走 15 级梯级，结果男孩用了 5 分钟到达楼上，女孩用了 6 分钟到达楼上．问：该扶梯共有多 少级？ 解析：总楼梯数即总草量，设略 列式（20 - X ）? 5 =15-X ）?

6

X= －10（级）？？？（例 3 已说过， X 是理想化的产物，没有实际意义） 将X= - 10代入（20 - X）?5得150级楼梯

例 5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多．从开始检票到等候检票的队伍消 失，同时开 4 个检票口需 30 分钟，同时开 5 个检票口需 20 分钟．如果同时打开 7 个检票口，那么需多少 分钟？ 解析：原有旅客即原有草量，新来排队得旅客即每天新长出得草量，其它不用我多说了吧。

例 6 现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。若用 8 台抽水机 10 天可以抽干；用 6 台抽水 机 20 天能抽干。问：若要 5 天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？ 解析：原有水量即原有草量，新匀速注入得水即每天新长出得草量，继续。 。。。。。

例 7 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内 小时淘完 .如果要求 2 小时淘完，要安排多少人淘水？ 解析：（10-X ） *3=（5-x）*8=（n-x）*2 。

.如果 10 人淘水， 3 小时淘完；如 5 人淘水 8

例 8、牧场有一片青草，每天生成速度相同。现在这片牧场可供 16 头牛吃 20 天，或者供 80 只羊吃 12 天， 如果一头牛一天吃草量等于 4 只羊一天的吃草量，那么 10 头牛与 60 只羊一起吃可以吃多少天？ 解析：思路，把羊转化为牛

4羊=1牛，“也可以供80只羊吃12天”相当于“ 头牛吃12天” 现在是“ 1头牛与60只羊一起吃这一片草”相当于“ [16-x]*20=[20-x]*12=[25-x]*y x=10

y=8

10 +250头牛吃草”

例 9.某牧场上长满牧草 ,,每天匀速生长 ,这片牧草供 17 头牛吃 30 天,19 头牛吃 24 天,现有一群牛吃了 6 天, 主人卖掉了 4 头牛,余下的牛吃了两天后刚好把草吃完 ,问这群牛原有几头 ? 解：设原有Y头，x还是“剪草的” [17-x]*30=[19-x]*24=[y-x]*6+[y-4-x]*2

注意：剩下的 2 天已经卖掉了 4 头牛，要分开计算 （y-x-4 ）*（6+2 ），这样列式就错了 x=9

y=40

例 10. 某市水库水量的增长速度是一定的，可供全市 12 万人使用 20 年，在迁入 3 万人之后，只能供全市 人民使用 15 年，市政府号召大家节约用水，希望将水库的使用寿命延长至 30 年，那么居民平均需要节约 用水量的比例是多少 ?（ ）

A. 2/5 B. 2/7 C. 1/3 D. 1/4

解析：

[12-x]*20=[15-x]*15=[y-x]*30 x=3 y=9 15-9=6

即多出 6 万人，这 6 万人要用 15 万人的 6/15=2/5

例 11. 有一个水池，池底有一个出水口，用 3 台抽水机 24 小时可将水抽完，用 9 台抽水机 12 小时可将水 抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间将水漏完？

解析：

（3-X ） *24= （9-X ）*12 得 X=-3（ 不要理会负数，按正 3 理解好了 ） 带入X到上式，（（3+3 ） *24 ） /X=48 所以是48

1 、一片牧草，每天生长的速度相同。想在这片牧草可供 20 头牛吃 12 天，或可供 60 只羊

吃 24 天。如果 1 头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量。那么 12 头牛与 88 只羊一起吃可以 吃多少天？

2 、一个水池，池底有水流均匀涌出，若将满池水抽干，用

10 台水泵需 2 小时，用 5 台同

样的水泵需 7 小时，先要在半小时内把满池水抽干，至少要这样的水泵多少台？

3 、有一片草，可供 8 只羊吃 20 天，或供 14 只羊吃 10 天。假设草的每天生长速度不变， 现有羊若干只，吃了 4 天后又增加了 6 只，这样又吃了 2 天便将草吃完，问有羊多少只？

4、 12 头牛 4 周吃完 6 公顷的牧草， 20 头牛 6 周吃完 12 公顷的牧草，假设每公顷原有草 量相等，草的生长速度不变，问多少头牛 8 周吃完 16 公顷的牧草？

5 、甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发，出发后 6 分钟甲车超过了一名长跑运动员，过了 2 分钟后乙车也超过去了， 又过了 2 分钟丙车也超了过去。 已知甲车每分钟走 1000 米，乙车 每分钟走 800 米，求丙车的速度。

1、牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧场可供

吃 10 天。可供 25 头牛吃多少天？

10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛

2 、牧场上一片牧草，可供 27 头牛吃 6 周，或者可供 23 头牛吃 9 周。如果牧草每周匀速 生长，可

供 21 头牛吃几周？

3 、牧场上长满牧草，每天牧草匀速生长。可供 4 只羊吃吃 15 天，或者可供 8 只羊吃 7 天； 若想

这片草地吃 5 天，可放养多少只羊？