选修模块
第1节
?x＝6cos φ，
1．(2020·太原市质检)已知曲线C1：x＋3y＝3和C2：?(φ为参数)．以
?y＝2sin φ
原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．
(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；
(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离.
解：(1)曲线C1化为ρcos θ＋3ρsin θ＝3. π3
θ＋?＝. ∴ρsin??6?2x2y2
曲线C2化为＋＝1.(*)
62将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(*)式
ρ22ρ22
得cosθ＋sinθ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6. 62∴曲线C2的极坐标方程为ρ2＝(2)∵M(3，0)，N(0,1)，∴P?
6
. 1＋2sin2θ
31?
，
?2，2?
π
∴OP的极坐标方程为θ＝，
6
πππ3
θ＋?＝得ρ1＝1，P?1，?. 把θ＝代入ρsin??6?2?6?6π6
把θ＝代入ρ2＝ 61＋2sin2θπ
2，?. 得ρ2＝2，Q??6?∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1， 即P，Q两点间的距离为1.
??x＝2cos θ，
2．(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?(θ为参数)，
?y＝4sin θ???x＝1＋tcos α，
直线l的参数方程为?(t为参数)．
?y＝2＋tsin α?
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
??x＝2cos θ
解：(1)曲线C的参数方程为?(θ为参数)，
?y＝4sin θ?
x2y2
∴＋＝1. 416
??x＝1＋tcos α
直线l的参数方程为?(t为参数)
?y＝2＋tsin α?
∴
y－2
＝tan α(α≠90°)，即tan α·x－y＋2－tan α＝0，当α＝90°时，x＝1. x－1
?x－y＋2－tan α＝0?α≠90°??tan α·
综上：l：?
?x＝1?α＝90°?.?
(2)当α＝90°，点(1,2)不为中点，∴不成立．
当α≠90°，把l代入曲线C中得：4x2＋[tan α·(x－1)＋2]2＝16， 化简得：(4＋tan2α)x2＋(4tan α－2tan2α)x＋tan2α－ 4tan α－12＝0，
2tan2α－4tan α
∵点(1,2)为弦的中点，∴x1＋x2＝2，即＝2，∴tan α＝－2，∴直线l的斜
4＋tan2α率k＝－2.
3．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρcos θ＝3，
π
曲线C2：ρ＝4cos θ(0≤θ≤)．
2(1)求C1与C2交点的极坐标；
→2→
(2)设点Q在C2上，OQ＝OP，求动点P的极坐标方程．
3
??ρcos θ＝3，3
解：(1)联立方程得?得cos θ＝±，
2??ρ＝4cos θ，
π3π
∵0≤θ＜，∴cos θ＝，∴θ＝，
226∴ρ＝23，
π
23，?. ∴所求交点的极坐标为?6??
π
0，?， (2)设P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ0)且ρ0＝4cos θ0，θ0∈??2?2??ρ＝ρ，02→5由已知OQ＝OP―→，得?3
??θ0＝θ，
2ππ
∴ρ＝4cos θ(θ∈[0，)，故点P的极坐标方程为ρ＝10cos θ，θ∈[0，)． 522
??x＝t，4．(2020·石家庄模拟)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是?(t为参数)，
?y＝2t?
以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ－3＝0.
(1)求直线l的极坐标方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|.
??x＝t，
解：(1)由?消去t得y＝2x，
?y＝2t?
?x＝ρcos θ，?
把?代入y＝2x，得ρsin θ＝2ρcos θ， ?y＝ρsin θ?
∴直线l的极坐标方程为sin θ＝2cos θ. (2)∵ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ.
∴曲线C的方程可化为x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4， 圆C的圆心C(0，－1)到直线l的距离d＝295∴|AB|＝24－d2＝.
5
??x＝cos θ
5．(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为?，(θ为参
?y＝sin θ?
5
， 5
数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
解：(1)根据⊙O的参数方程，可得⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1， π
当α＝时，直线l与圆⊙O交于两点．
2π
当α≠时，tan α＝k
2
设过点(0，－2)的直线为y＝kx－2，要使直线与⊙O相交于两点，则d＝故k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞) π3π?∴α∈??4，4?.
|－2|k2＋1
<1.
?x2＋y2＝1，(2)设P点的坐标为(x，y)，联立方程?得(k2＋1)x2－22kx＋1＝0.
?y＝kx－2，
221
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，x1·x2＝2，
k＋1k＋1x1＋x22k2k2
故x＝＝2，y＝2－2.
2k＋1k＋12k2k2??
∴P?2，2－2?.∵k＝tan α，
?k＋1k＋1?∴点P的轨迹的参数方程为 2tan αx＝??1＋tanα，?2y＝－??1＋tanα，22
?α∈?π，π?∪?π，3π??.
??42??24??
6．(2020·桂林联考)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，
??x＝tcos α，长度单位相同，建立极坐标系，直线l的参数方程为?(t为参数，α为l的倾斜
??y＝y0＋tsin α
ππ
角)，曲线E的极坐标方程为ρ＝4sin θ，射线θ＝β，θ＝β＋，θ＝β－与曲线E分别交于不
66同于极点的A，B，C三点．
(1)求证：|OB|＋|OC|＝3|OA|；
π
(2)当β＝时，直线l过B，C两点，求y0与α的值．
3解：(1)证明：依题意知，|OA|＝4sin β， πβ＋?， |OB|＝4sin ??6?πβ－?， |OC|＝4sin ??6?ππ
β＋?＋4sin?β－? 则|OB|＋|OC|＝4sin ??6??6?＝43sin β＝3|OA|.
ππππ
4sin ，?＝?4，?， (2)当β＝时，点B的极坐标为?22??2??3
πππ4sin ，?＝?2，?， 点C的极坐标为?66??6??故B、C化为直角坐标为B(0,4)，C(3，1)， 所以直线l：y＝－3x＋4， 2π
∴y0＝4，α＝. 3
第2节
1．已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围． －3，x<－1，??
解析：(1)f(x)＝?2x－1，－1≤x≤2，
??3，x>2.当x<－1时，f(x)≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1得，2x－1≥1， 解得1≤x≤2；
当x>2时，由f(x)≥1解得x>2. 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}． (2)由f(x)≥x2－x＋m， 得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.
355
|x|－?2＋≤， 而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－?2?44?35
且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.
245
－∞，?. 故m的取值范围为?4??
2．(2018·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|. (1)画出y＝f(x)的图像；
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．
2020艺术生高考数学考前必刷题：选修模块(精选各地模拟题)
